精算學鏈梯法的統計模型原理

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【本文的理解難度：中等】

今天整理的主題是關於鏈梯法的，看上去似乎非常的不屑於一談，可能有些同仁覺得太基礎了，給非精算人員“掃盲”還可以，要是給精算圈內的同仁講，似乎有點太“小兒科”了。呵呵，還千萬別這麼主觀想象。這個主題是圈內不止一個人問過我的，感覺很有必要說說，似乎很多人對非常基礎的鏈梯法（Chain Ladder）並不是很瞭解，呵呵 這個問題很有意思，一個朋友問我，為什麼鏈梯法的進展因子（LDF）的選擇有金額加權平均法、簡單加權平均法之分？哪個才是最正確的LDF選擇方法？是不是永遠都是金額加權平均優於簡單加權平均？看到有的人的回覆很簡單，都是人為主觀判斷的，這麼平均都可以，關鍵還是人為的主觀經驗的最後選擇。這個答案沒錯，但是，我覺得針對一些進入行的精算職業新人，還是很有必要深入瞭解鏈梯法的統計模型原理。今天主要就是說說這個。 鏈梯法的模型在形式上是很簡單的，y=c*x+e，y為下一年的累積賠款，x為上一年的累積賠款，c被稱為損失進展因子即LDF，e為隨機波動誤差。但是，模型背後的機率假設是相當重要的，也正是由於模型背後的機率分布假設，直接影響了c因子即損失進展因子LDF的確定方法。 （一）LDF金額加權平均法的機率模型 最為常用的LDF金額加權平均方法，實際上是基於上述模型服從Poisson分布的假設。在Poisson分布假設下，y服從於以c*x為均值的Poisson分布，使用極大似然估計法（MLE），可以推匯出，在鏈梯法模型服從Poisson分布的情況下，進展因子c＝sum(Yi)/sum(Xi)，這個就是LDF的金額加權平均結果。基於Poisson分布的假設對賠款金額來說不是很合理，但是，從鏈梯法的發展曆史上講，最開始鏈梯法是用來針對賠款案例數（claim counts）而非賠款金額（claim amount）的，因此，賠款案例數服從Poisson分布還算可以理解，但是如果考慮到每個賠案的賠款金額，顯然poisson分布就顯得不太合理了。 （二）LDF簡單平均法的機率模型 LDF的簡單平均法，一般被人們普遍認為沒有金額加權平均法合理，但實際上未必如此，需要我們去如何看待這個問題。 一般地，我們通常假設賠款金額的分布是偏態的，這樣，一個很常用的機率模型分布是Gamma分布。我們可以推匯出，假設鏈梯法模型y=c*x+e是服從Gamma分布，即Y服從於以c*x為均值的Gamma分布（方差因子沒有關係，在MLE推導過程中是可以抵消的），使用極大似然估計法（MLE）可以推匯出，進展因子c＝sum(Yi/Xi)/n，這個就是LDF的簡單平均法結果。可見，LDF簡單平均法的結果是將鏈梯法模型基於Gamma機率分布假設做出的，從某種意義上講，它同樣具有著較強的理論支援。 （三）最小二乘法（LSM）下的LDF確定 最小二乘法是確定模型參數的一種最常用方法之一，如果將鏈梯法模型y=c*x+e採用LSM去做的話，得到的結果看上去比較奇快，是c＝sum(Xi*Yi)/sum(Xi^2)。這個結果可以變形為c＝sum(Xi^2*Yi/Xi)/sum(Xi^2)，這也可以看成是一種加權平均方法，但不是簡單的金額加權平均，而是金額平方加權平均。這種LDF確定方法在實務中很少被使用，主要是因為在計算上略微複雜一些。另外，誠如前幾天一個同仁在部落中評論的，LSM假設了所有的Y都是同一個常數方差，與X的波動性無關，儘管Y的均值還是c*X，在這一點上可能不是很合理。 （四）廣義線性模型（GLM）的隨機殘差機率分布 普通的線性模型既然不行，廣義線性模型GLM用來計提準備金就成為了一種技術發展的方向。實際上，在使用廣義線性模型GLM時，你會發現很多有趣的現象。由於GLM假設的隨機殘差機率分布的不同，結果會非常有意思。一個最經典的結果是，如果假設GLM的隨機殘差服從Poisson分布，那麼模型的結果與採用LDF金額加權平均法的標準鏈梯法是不謀而合的。其中的道理實際上就是上面所講的道理。 以上為對非常“小兒科”的鏈梯法技術的一點點解釋，供問過此類問題的朋友和有興趣的同仁參考。摘自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5d87d79a0100l9xy.html

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