float和double資料在電腦中的儲存方式

1. 範圍 

  float和double的範圍是由指數的位元來決定的。
  float的指數位有8位，而double的指數位有11位，分布如下：
  float：
  1bit（符號位） 8bits（指數位） 23bits（尾數位）
  double：
  1bit（符號位） 11bits（指數位） 52bits（尾數位），如所示。

  於是，float的指數範圍為-127~+128，而double的指數範圍為-1023~+1024，並且指數位是按補碼的形式來劃分的。
  其中負指數決定了浮點數所能表達的絕對值最小的非零數；而正指數決定了浮點數所能表達的絕對值最大的數，也即決定了浮點數的取值範圍。
  float的範圍為-2^128 ~ +2^128，也即-3.40E+38 ~ +3.40E+38；double的範圍為-2^1024 ~ +2^1024，也即-1.79E+308 ~ +1.79E+308。

2.  精度
  float和double的精度是由尾數的位元來決定的。浮點數在記憶體中是按科學計數法來儲存的，其整數部分始終是一個隱含著的“1”（後面會講到），由於它是不變的，故不能對精度造成影響。
  float：2^23 = 8388608，一共七位，這意味著最多能有7位有效數字，但絕對能保證的為6位，也即float的精度為6~7位有效數字；如果此處不明白可以看一下此處說明：假設有一個十進位小數0.000001，它為6位元，轉化為二進位則需不斷的乘2取整，把0.暫且不看，只看000001，不斷乘2，有多少個2才能達到6位元字的長度呢？答案為19個時剛好能達到6位，大小為524288，顯然沒有包含所有的6位元字，因而當達到20個2時，達到1048576七位元了，顯然可以包含所有的6位元了，因而說絕對精確到小數點後6位；而float所給的尾數部分為23位，2^23=8388608，依然沒有超過7位，所以說最多有7位有效數字。double同理。

  double：2^52 = 4503599627370496，一共16位，同理，double的精度為15~16位

下面以float為例說明十進位float轉與二進位float之間的轉換原理

浮點型變數在電腦記憶體中佔用4位元組（Byte）,即32-bit。遵循IEEE-754格式標準。
一個浮點數由2部分組成：底數m 和 指數e。
  ±mantissa × 2exponent         公式中的mantissa 和 exponent使用二進位表示

底數部分　使用２進位數來表示此浮點數的實際值。
指數部分　佔用８-bit的位元，可表示數值範圍為0－255。

但是指數應可正可負，所以IEEE規定，此處算出的次方須減去127才是真正的指數。所以float的指數可從 -127到128.

底數部分實際是佔用24-bit的一個值，由於其最高位始終為 1 ，所以最高位省去不儲存，在儲存中只有23-bit。為什麼最高位會始終為1呢？看此處說明：

{

  數字float 9.125在十進位中用科學計算的方式表示為9.125*10^0  ，但是在電腦中，電腦只認識0和1，所以在電腦中是按照科學計算的二進位的方式表示的：

9的二進位表示為1001

0.125的二進位表示為0.001

所以91.25的表示成1001.001  將其表示成二進位的科學計數方式為 1.001001*2^3 （小數點左移三位，後面有說明）

在電腦中，任何一個數都可以表示成1.xxxxxx*2^n 這樣的形式，

其中xxxxx就表示尾數部分，n表示指數部分

其中，因為最高位橙色的1這裡，由於任何的一個數表示成這種形式時這裡都是1，所以在儲存時實際上並不儲存這一位，這使得float的23bit的尾數可以表示24bit的精度，double中52bit的尾數可以表達53bit的精度。

}

到目前為止， 底數部分 23位 加上指數部分 8位 使用了31位。那麼前面說過，float是佔用4個位元組即32-bit,那麼還有一位是幹嘛用的呢？ 還有一位，其實就是4位元組中的最高位，用來指示浮點數的正負，當最高位是1時，為負數，最高位是0時，為正數。

浮點數據就是按下表的格式儲存在4個位元組中：
Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
電腦內float資料存放區格式：（對應圖中float） 

SEEE EEEE EMMM MMMM MMMM MMMM MMMM MMMM 

S: 符號位，表示浮點數正負，1為負數，0為正數
E: 指數位，指數加上127後的值的位元
M: 尾數位，24-bit的底數（只儲存23-bit）

主意：這裡有個特例，浮點數 為0時，指數和底數都為0，但此前的公式不成立。

因為2的0次方為1，所以，0是個特例。當然，這個特例也不用認為去幹擾，編譯器會自動去識別。

通過上面的格式，我們下面舉例看下-12.5在電腦中儲存的具體資料：
Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
 0xC1            0x48        0x00       0x00

 接下來我們驗證下上面的資料表示的到底是不是-12.5，從而也看下它的轉換過程。
由於浮點數不是以直接格式儲存，他有幾部分組成，所以要轉換浮點數，首先要把各部分的值分離出來。

Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
格式 SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM
二進位 11000001 01001000 00000000 00000000
16進位 C1 48 00 00

可見：
S: 為1，是個負數。
E:為 10000010 轉為10進位為130，130-127=3，即實際指數部分為3.
M:為 10010000000000000000000。 這裡，在底數左邊省略儲存了一個1，使用 實際底數表示為 1.10010000000000000000000 
    到此，我們把三個部分的值都拎出來了，現在，我們通過指數部分E的值來調整底數部分M的值。

    調整方法為：

    如果指數E為負數，底數的小數點向左移，如果指數E為正數，底數的小數點向右移。小數點移動的位元由指數E 的 絕對值決定。
    這裡，E為正3，使用向右移3為即得：1100.10000000000000000000
    這個結果就是12.5的二進位浮點數，將他換算成10進位數就看到12.5了，

如何轉換，看下面：

小數點左邊的1100 表示為 (1 × 2^3) + (1 × 2^2) + (0 × 2^1) + (0 × 2^0), 其結果為 12 。
小數點右邊的 .100… 表示為 (1 × 2^-1) + (0 × 2^-2) + (0 × 2^-3) + ... ，其結果為.5 。
以上二值的和為12.5， 由於S 為1，使用為負數，即-12.5 。
所以，16進位 0XC1480000 是浮點數 -12.5 。

上面是如何將電腦儲存中的位元如何轉換成實際浮點數，下面看下如何將一浮點數裝換成電腦儲存格式中的位元。
舉例將17.625換算成 float型。
首先，將17.625換算成二進位位：10001.101 ( 0.625 = 0.5+0.125, 0.5即 1/2, 0.125即 1/8 )

再將 10001.101 小數點向左移，直到小數點前只剩一位 成了 1.0001101 x 2的4次方（因為右移了4位）。此時 我們的底數M和指數E就出來了：
底數部分M，因為小數點前必為1，所以IEEE規定只記錄小數點後的就好，所以此處底數為 0001101 。
指數部分E，實際為4，但須加上127，固為131，即位元 10000011 
符號部分S，由於是正數，所以S為0.
綜上所述，17.625的 float 儲存格式就是：
0 10000011 00011010000000000000000
轉換成16進位：0x41 8D 00 00
所以，一看，還是佔用了4個位元組。

實際上在X86電腦中，採用的是小端儲存方式，即低地址儲存低位元據，高地址儲存高位元據。

（10應該為8D，拷貝的圖，沒改）

 

此貼參考一下三處文章，其中敘述有錯誤的地方已改正。如本帖有錯，還請指正。

http://blog.sina.com.cn/s/blog_8a18c33d01013bke.html

http://blog.csdn.net/guqsir/article/details/7015267

http://www.cnblogs.com/BradMiller/archive/2010/11/25/1887945.html