漫步微積分三十四——體積計算：圓柱殼法

還有一種去體積的方法，往往它比上篇文章的方法更加方便。

為了理解這種方法，考慮圖1左邊所示的地區，也就是，第一象限數軸和所示示曲線 y=f(x) y=f(x)圍成的地區。如果這個地區繞 x x軸旋轉，那麼圖中的垂直窄帶產生一個圓盤，我們能夠從 x=0 x=0到 x=b x=b區間上積分這些圓盤的體積得到總體積。當然，這是上篇文章中描述的圓盤法。然而，如果地區繞 y y軸旋轉，就像圖中間的那樣，那麼我們獲得完全不同的物體，垂直窄帶產生了很薄的圓柱殼。這個殼可以看做一個罐頭，只是其頂部和底部已被去掉，或者很薄的紙板。其體積 dV dV本質上是內圓柱表面積 (2πxy) (2\pi xy)乘以厚度 (dx) (dx)，所以
dV=2πxydx(1) \begin{equation}dV=2\pi xydx\tag1\end{equation}

這個殼的半徑 x x從 x=0 x=0增長到 x=b x=b，從圖1可以看出，圓柱殼序列填充沿著軸向外充滿了整個物體。因此總體積就是 dV dV體積元的和-或積分
V=∫dV=∫2πxydx=∫b02πxf(x)dx(2) \begin{equation}V=\int dV=\int 2\pi xydx=\int_0^b2\pi xf(x)dx\tag2\end{equation}

其中 y=f(x) y=f(x)，原則上，體積 V V也可以用水平窄帶得到的水平圓盤來計算；然而我們會發現這非常困難，因為給定的方程 y=f(x) y=f(x)無法用 y y來表示 x x。


圖1

和其他積分的應用一樣，等式(1)(2)將涉及到和極限的複雜過程變成簡潔的運算式，為了清楚起見，我們忽略這個過程的細節。

還跟之前一樣，我們建議大家不要死記公式(2)。這個公式類似於對應的圓盤法公式，如果只是死記而不加思考的話，很容易將他們用混並打字自信。更好地方式是畫圖，直接從圖中可見的資訊來構建(1)，然後對形式(2)進行積分。此外，這種方法更大的優勢，我們不用依賴於任何特定的符號，可以很容易將基本思想應用到各種軸旋轉得到的物體上。

例1：上篇文章中我們用圓盤法計算了球體的體積。現在我們用圓柱殼法在此解決這問題(圖2)。圖中所示殼的體積為