SICP 習題 （1.41）解題總結

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SICP 習題1.41 看似和周邊的題目沒有關係，突然叫我們去定義一個叫double的過程，其實這道題的核心還是高階函數。

題目要求我們定義一個過程double，它以一個過程作為參數，這個作為參數的過程已經約定是一個單參數過程。double過程需要返回一個過程，所返回的過程將傳入的過程應用兩次。

舉例說，如果我們有個過程叫（扇耳光 賤人），調用這個過程會扇賤人一個耳光。

那麼（double 扇耳光）會返回另一個過程，這個過程沒有名字，我們暫且叫他“扇倆耳光”吧，調用(扇倆耳光 賤人)就會扇賤人兩個耳光了。

也就是說((double 扇耳光) 賤人)這樣的調用會扇賤人兩個耳光。

好，題目問我們(((double ( double double)) inc) 5)的結果是什麼，其中inc方法會給傳入參數加1.

要完成這道題，先看看double如何定義吧。

完全按照題目意思，定義的double如下：

(define (double f)  (lambda (x)     (f (f x)))) 

為了測試，我定義了一個我自己的inc過程

(define (my-inc x)  (+ x 1))

最後直接測試

(define test-it (((double ( double double)) my-inc) 5))

結果是21，也就是5+16，就是做了16次加一的操作。

為什麼呢？

我們可以一步一步展開

;首先將不同的double標號，分別是double1 , double2, double3，這樣比較清晰(define step1 (((double1 ( double2 double3)) my-inc) 5));然後將（double2 double3)展開：(define step2 (((double1 (lambda (x) (double3 (double3 x)))) my-inc) 5));將(lambda (x) (double3 (double3 x))) 命名為lam1:(define (lam1 x) (double3 (double3 x)));這樣step2就等同於下面的step3:(define step3 (((double1 lam1) my-inc) 5));再將(double1 lam1)展開：(define step4 (((lambda (x) (lam1 (lam1 x))) my-inc) 5));將my-inc代入step4中得lambda中：(define step5 ((lam1 (lam1 my-inc)) 5));將裡面的lam1還原回原來的定義：(define step6 ((lam1 (double3 (double3 my-inc))) 5));將裡面的(double3 my-inc)展開：(define step7 ((lam1 (double3 (lambda (x) (my-inc (my-inc x))))) 5)); 將step7裡的lambda定義為lam2:(define (lam2 x) (my-inc (my-inc x)))；那麼step7可以轉換為：(define step8 ((lam1 (double3 lam2)) 5)); 再將step8中的(double3 lam2)展開得到step9:(define step9 ((lam1 (lambda (x) (lam2 (lam2)))) 5))；將step9中得lambda函數定義為lam3:(define (lam3 x) (lam2 (lam2)))；那麼step9就可以轉換成step10這樣：(define step10 ((lam1 lam3) 5)); 將step10中的lam1恢複成原來的定義：(define step11 ((double3 (double3 lam3)) 5));將(double3 lam3)展開：(define step12 ((double3 (lambda (x) (lam3 (lam3 x)))) 5));將step12中的lambda函數命名為lam4:(define (lam4 x) (lam3 (lam3 x)))；則step12可以表示成step13這樣：(define step13 ((double3 lam4) 5));將(double3 lam4)展開：(define step14 ((lambda (x) (lam4 (lam4 x))) 5));將5代入step14中的lambda過程中：(define step15 (lam4 (lam4 5)));將lam4還原回原始定義：(define step16 (lam3 (lam3 (lam3 (lam3 5)))));將lam3還原回原始定義：(define step17 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 5)))))))));將lam2還原回原始定義:(define step18 (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc 5)))))))))))))))))；結果就是21了：(define step19 21)

以上的分析過程比較繁瑣，不過也比較詳細。

如果從抽象一點的層面來看的話，也可以用另外一種方法

考察以下方法：

(((double ( double double)) my-inc) 5)

double過程的作用是將任何方法嵌套調用兩次。

而(double double)就是將double嵌套調用兩次，結果就是將任何方法嵌套調用4次。

如果有(define four-time (double double))的話，fourtime過程將任何方法嵌套調用4次。

’

進一步看得話(double (double double))相當於(double four-time)。

相當於是(four-time (four-time x))

這裡要特別注意，兩次four-time的嵌套調用並不是4+4次，而是4*4次調用，就是16次調用。

習題1.41解題完成，這道題也可以很好地協助同學們理解高階函數，特別是高階函數的嵌套。