求質數總結

質數又稱素數。指在一個大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他自然數整除的數。
一、判斷一個數是否為質數

首先根據定義，最簡單的判斷一個數n是否為質數的方法，就是從2開始對小於n的所有數，依次判斷是否能整除n，若都不能整除就是質數。

bool IsPrime(int n){if(n == 1)return false;for(int i = 2; i < n; i++)if(n % i ==0)return false;return true;}

我們再稍微改進一下，我們可以先判斷一下2能不能整除n，然後2以上的偶數就不需要再判斷了，因為2不能整除n那麼含有因子2的數肯定也不能整除n。再者，我們根本不需要迴圈到n，若兩個數的乘積為n，那麼肯定有一個因子是小於sqrt(n)的，所以，迴圈的上限可以取sqrt(n)。於是就有：

bool IsPrime(int n){if(n == 2)return true;if(n == 1 || (n & 1))return false;int k = (int)sqrt(n);for(int i = 3; i <= k; i += 2)if(n % i == 0)return false;return true;}

上面是過濾掉了2的倍數，計算量變為原來的二分之一，我們也可以把3的倍數過濾掉，也就是只判斷3是否能整除n，其它3的倍數就不需要判斷了，計算量就可以變為原來的三分之一。也就是只剩6*k+1和6*k+5（k為整數）這些數，因為其他數都含有因子2或3，n若不能被2或3整除，那麼n也不能被6*k，6*k+2，6*k+3，6*k+4這些數整除，就不需要判斷這些數能否整除n了，這樣又減少了判斷量。

bool IsPrime(int n){if((n == 2) || (n == 3))return true;if((n == 1) || ((n & 1) == 0) || ((n % 3) ==0))return false;int k = (int)sqrt(n);int step = 4;for(int i = 5; i <= k; i += step){if(n % i == 0)return false;step = 6 - step;}return true;}

二、找出區間內的所有質數
要求區間內的所有質數，首先可以用以上判斷單個質數的方法挨個尋找，但是太慢了。。。
這類問題主要的就是篩選法了。篩法求質數的主要思想就是，從小到大，當判斷完一個數K是否為質數後，把後面的所有的K的倍數（含因子K）都去掉。

#define N 1000000bool isPrime[N];int i;memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));isPrime[1] = false;//篩掉大於2的偶數for(i = 4; i < N; i += 2)         isPrime[i] = false;  int bound = sqrt(N);  //用sqrt(N)以內的質數去篩掉後面含有質數因子的元素  for(i = 3; i <= bound; i += 2)               {//從3開始的奇數，如果是質數就去篩掉以自己為因子的元素，不是質數跳過if(false == isPrime[i]) continue;  int step = i << 1;   //i為質數，則從i*i開始篩，以2*i為步長（因為偶數已被篩掉，小於i*i的非質數，已被小於i的質數篩掉）for(int j = i * i ; j < N ; j += step) //含有質數因子i，篩掉      isPrime[j] = false;            }

若求兩個大數之間的質數，也可以用篩法
如求N1和N2之間的質數1000000000 <= N1 < N2 < 2^32 and 1 < N2 - N1 < 1000000

bool isPrime[1000000];int prime[70000]; //儲存小於65536的質數（可以篩unsigned int範圍內的數），篩法求出int primeCnt;     //小於65536的質數個數int i, j;/*求小於65536的質數，儲存在prime數組中*/int N1 = 100000000;int N2 = 101000000;int D = N2 - N1;memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));for(i = 0; i < primeCnt; i++){     int k = N2 % prime[i];     //可知 N2-k 含質因子prime[i]，不是質數，N2 - k - x*prime[i]（x為整數）都不是質數數，篩掉  int step = prime[i]; int j = D - k; // N2 - k 對應於數組下標 D - k, N2 - k - x * prime[i] 對應於數組下標 j - x * prime[i]; while(j >= 0) {isPrime[j] = false; //isPrime[j] 代表 N1 + j 是否是質數j -= step; }}