劍指offer (45) 約瑟夫環問題

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題目：有編號從 1 到 n 的 n 個人坐成一圈報數，報到 m 的人出局，下一位再從 1 開始， 如此持續，直止剩下一位為止，報告此人的編號 X。輸入 n, m，求出 X

題解分析：

一開始有 n 個人，報到 m 的人出局後，如果我們從剛才出局的那人的下一位開始重新從 1 開始編號，原問題就轉化為了一個 n – 1 人的問題。

如下表所示：

原始編號	第一人出局後的編號
m + 1	1
m + 2	2
m + 3	3
...	...
m - 2	n - 2
m - 1	n - 1
m	已出局

老的編號 i 與新編號 j 之間的關係為：i = (j + m) % n ，其中“%”為取餘數運算。

顯然，這個過程可以不斷重複，n – 1 規模的問題可以繼續轉化為 n – 2 規模的問題、n – 3 規模的問題，直到最後只剩下一個人。

我們可以總結出如下遞推公式：

 

f(n) = (f(n – 1) + m) % n, (n > 1)，其中 f(n) 為當場上還有 n 個人時某個在場的人的編號

當最後只剩下一個人時，這個人的編號顯然只能是 1 ，即 f(1) = 1，這時，我們可以根據上面的公式反推回去，推匯出當 n 個人都在場時他的編號。

int LastNumber(int n, int m) {    assert(n > 0 && m > 0);    int last = 0;    for (int i = 2; i <= n; ++i) {        last = (last + m) % i;    }    return last + 1;}