【劍指Offer學習】【面試題36：數組中的逆序對】，劍指offer

【劍指Offer學習】【面試題36：數組中的逆序對】，劍指offer
題目：在數組中的兩個數字如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組，求出這個數組中的逆序對的總數。舉例分析

　　例如在數組｛7, 5, 6, 4 中， 一共存在5 個逆序對，分別是（7, 6）、（7，5），(7, 4）、（6, 4）和（5, 4）。

解題思路：

第一種：直接求解

　　順序掃描整個數組。每掃描到一個數位時候，逐個比較該數字和它後面的數位大小。如果後面的數字比它小，則這兩個數字就組成了一個逆序對。假設數組中含有n 個數字。由於每個數字都要和O(n）個數字作比較， 因此這個演算法的時間複雜度是O(n^2)。

第二種：分析法

　　我們以數組｛7, 5, 6, 4｝為例來分析統計逆序對的過程。每次掃描到一個數位時候，我們不能拿它和後面的每一個數字作比較，否則時間複雜度就是O(n^5)，因此我們可以考慮先比較兩個相鄰的數字。

　　5 . 1 ( a )和圖5.1 ( b）所示，我們先把數組分解成兩個長度為2的子數組， 再把這兩個子數組分別拆分成兩個長度為1 的子數組。接下來一邊合并相鄰的子數組， 一邊統計逆序對的數目。在第一對長度為1 的子數組｛7｝、｛5｝中7 大於5 ， 因此（7, 5）組成一個逆序對。同樣在第二對長度為1 的子數組｛6｝、｛4｝中也有逆序對（6, 4）。由於我們已經統計了這兩對子數組內部的逆序對，因此需要把這兩對子數組排序（ 圖5.1 ( c）所示），以免在以後的統計過程中再重複統計。

注　圖中省略了最後一步， 即複製第二個子數組最後剩餘的4 到輔助數組中.
(a) P1指向的數字大於P2指向的數字，表明數組中存在逆序對．P2 指向的數字是第二個子數組的第二個數字， 因此第二個子數組中有兩個數字比7 小． 把逆序對數目加2，並把7 複製到輔助數組，向前移動P1和P3.
(b) P1指向的數字小子P2 指向的數字，沒有逆序對．把P2 指向的數字複製到輔助數組，並向前移動P2 和P3 .
(c) P1指向的數字大於P2 指向的數字，因此存在逆序對． 由於P2 指向的數字是第二個子數組的第一個數字，子數組中只有一個數字比5 小． 把逆序對數目加1 ，並把5複製到輔助數組，向前移動P1和P3 .

　　接下來我們統計兩個長度為2 的子數組之間的逆序對。我們在圖5.2 中細分圖5.1 ( d）的合并子數組及統計逆序對的過程。
　　我們先用兩個指標分別指向兩個子數組的末尾，並每次比較兩個指標指向的數字。如果第一個子數組中的數字大於第二個子數組中的數字，則構成逆序對，並且逆序對的數目等於第二個子數組中剩餘數位個數（5.2 (a)和圖5.2 (c)所示）。如果第一個數組中的數字小於或等於第二個數組中的數字，則不構成逆序對（5.2 (b)所示〉。每一次比較的時候，我們都把較大的數字從·後往前複製到一個輔助數組中去，確保輔助數組中的數字是遞增排序的。在把較大的數字複製到輔助數組之後，把對應的指標向前移動一位，接下來進行下一輪比較。
　　經過前面詳細的詩論， 我們可以總結出統計逆序對的過程：先把數組分隔成子數組， 先統計出子數組內部的逆序對的數目，然後再統計出兩個相鄰子數組之間的逆序對的數目。在統計逆序對的過程中，還需要對數組進行排序。如果對排序賀，法很熟悉，我們不難發現這個排序的過程實際上就是歸併排序。

代碼實現：

public class Test36 {    public static int inversePairs(int[] data) {        if (data == null || data.length < 1) {            throw new IllegalArgumentException("Array arg should contain at least a value");        }        int[] copy = new int[data.length];        System.arraycopy(data, 0, copy, 0, data.length);        return inversePairsCore(data, copy, 0, data.length - 1);    }    private static int inversePairsCore(int[] data, int[] copy, int start, int end) {        if (start == end) {            copy[start] = data[start];            return 0;        }        int length = (end - start) / 2;        int left = inversePairsCore(copy, data, start, start + length);        int right = inversePairsCore(copy, data, start + length + 1, end);        // 前半段的最後一個數位下標        int i = start + length;        // 後半段最後一個數位下標        int j = end;        // 開始拷貝的位置        int indexCopy = end;        // 逆序數        int count = 0;        while (i >= start && j >= start + length + 1) {            if (data[i] > data[j]) {                copy[indexCopy] = data[i];                indexCopy--;                i--;                count += j - (start + length); // 對應的逆序數            } else {                copy[indexCopy] = data[j];                indexCopy--;                j--;            }        }        for (; i >= start; i--) {            copy[indexCopy] = data[i];            indexCopy--;            i--;        }        for (; j >= start + length + 1; j--) {            copy[indexCopy] = data[j];            indexCopy--;            j--;        }        return count + left + right;    }    public static void main(String[] args) {        int[] data = {1, 2, 3, 4, 7, 6, 5};        System.out.println(inversePairs(data)); // 3        int[] data2 = {6, 5, 4, 3, 2, 1};        System.out.println(inversePairs(data2)); //  15        int[] data3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6};        System.out.println(inversePairs(data3)); // 0        int[] data4 = {1};        System.out.println(inversePairs(data4)); // 0        int[] data5 = {1, 2};        System.out.println(inversePairs(data5)); // 0        int[] data6 = {2, 1};        System.out.println(inversePairs(data6)); // 1        int[] data7 = {1, 2, 1, 2, 1};        System.out.println(inversePairs(data7)); // 3    }}

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