【劍指offer】異或去重

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    這篇文章沒有代碼，介紹的是純理論的思路。

    異或是一種基於二進位的位元運算，用符號XOR或者 ^ 表示，其運演算法則是對運算子兩側數的每一個二進位位，同值取0，異值取1。它與布爾運算的區別在於，當運算子兩側均為1時，布爾運算的結果為1，異或運算的結果為0。

    異或的性質：

    1、交換律：a^b = b^a；

    2、結合律：(a^b)^c = a^(b^c)；

    3、對於任意的a：a^a=0，a^0=a，a^(-1)=~a。

    瞭解了上面這些，來看看這個，很重要，後面的程式都要用到這個結論：

    對於任意的a，有a^b^c^d^a^k = b^c^d^k^(a^a) = b^c^d^k^0 = b^c^d^k，也就是說，如果有多個數異或，其中有重複的數，則無論這些重複的數是否相鄰，都可以根據異或的性質將其這些重複的數消去，具體來說，如果重複出現了偶數次，則異或後會全部消去，如果重複出現了奇數次，則異或後會保留一個。

    下面來看兩道題目：

     1、1-1000放在含有1001個元素的數組中，只有唯一的一個元素值重複，其它均只出現一次。每個數組元素只能訪問一次，設計一個演算法，將它找出來；不用輔助儲存空間，能否設計一個演算法實現？

    當然，這道題，可以用最直觀的方法來做，將所有的數加起來，減去1+2+3+...+1000的和，得到的即是重複的那個數，該方法很容易理解，而且效率很高，也不需要輔助空間，唯一的不足時，如果範圍不是1000，而是更大的數字，可能會發生溢出。

    我們考慮用異或操作來解決該問題。現在問題是要求重複的那個數字，我們姑且假設該數字式n吧，如果我們能想辦法把1-1000中除n以外的數字全部異或兩次，而數字n只異或一次，就可以把1-1000中出n以外的所有數字消去，這樣就只剩下n了。我們首先把所有的數字異或，記為T，可以得到如下：

T = 1^2^3^4...^n...^n...^1000 = 1^2^3...^1000（結果中不含n）

    而後我們再讓T與1-1000之間的所有數字（僅包含一個n）異或，便可得到該重複數字n。如下所示：

T^(a^2^3^4...^n...^1000) = T^(T^n) = 0^n = n

    這道題到此為止。

    2、一個數組中只有一個數字出現了一次，其他的全部出現了兩次，求出這個數字。

    明白了上面題目的推導過程，這個就很容易了，將數組中所有的元素全部異或，最後出現兩次的元素會全部被消去，而最後會得到該只出現一次的數字。

    該題目同樣可以該為如下情景，思路是一樣的：數組中只有一個數字出現了奇數次，其他的都出現了偶數次。