電腦中帶符號數的表示

來自：http://icebloods.blog.sohu.com/64118412.html

為敘述方便，先引進兩個名詞：機器數和真值。將一個數在機器中的表示形式，即編碼稱為機器數，將數本身稱為真值。常用的機器數有三種：原碼、補碼和反碼。

1．原碼

1)通俗定義

將數的符號數位化，即用一個二進位位表示符號：對正數，該位取0，對負數，該位取1。而數值部分保持數的原有形式(有時需要在高位部分添幾個0)。這樣所得結果為該數的原碼錶示。

    例，x=+1001010，y= -1001010，z= -1110(= -0001110)。當原碼為8位時，x、y和z的原碼分別是：

    [x]原=01001010；

    [y]原=11001010；

    [Z]原=10001110．

其中最高位為符號位。

2)正規定義

其中，x為真值，n為原碼的位元。這個定義實際是將真值的範圍給出來了，當n=8時，-127<x<127，因而，其數值部分寫成二進位形式，最多為7位。從該定義可看出，x為正數時，其原碼還是數本身，第8位(符號位)補0；x為負數時，-x等於去掉負號，但要加上127，即第8位為1(127=10000000(2))。因此，這個定義和上面的通俗定義是一致的。 

3)原碼錶示的特點

原碼錶示有三個主要特點：一是直觀，與真值轉換很方便；二是進行乘、除運算方便；三是加、減運算比較麻煩。第一點是顯然的。說原碼錶示進行乘、除運算方便是因為其數值部分保持了資料的原有形式，對數值部分進行乘或除就可得到積或商的數值部分，而積或商的符號位可由兩個數原碼的符號位進行邏輯運算而得到。說原碼錶示進行加、減運算比較麻煩，以加法為例，兩個數相加需先判別符號位，若其不同，實際要做減法，這時需再判斷絕對值的大小，用絕對值大的數減絕對值小的數，最後還要決定結果的符號位。

2．補碼

1)補碼的引進和定義

據統計，在所有的運算中，加、減運算要佔到80％以上，因此，能否方便地進行正、負數加、減運算，直接關係到電腦的運行效率。

如日常生活中的一個例子——指標式鐘錶。現在時針指向11點鐘，要使其指向6點鐘，有兩種方法，一是正撥7個格，二是反撥5個格。如果把鐘錶看成一個計算機，正撥看成加運算，反撥看成減運算，那麼，在鐘錶上有：11-5=11+7，即11+(-5)=11+7。之所以這樣，是因為11+7=12+6，而在鐘錶上，12相當於0，超過12時，12就丟失了。這種運算稱為按模運算。鐘錶的模為12。所謂“模”，是指一個系統的配量，或者說一個系統所能表示的最大的數(確切地說，為最大數時加1)。按模運算是指運算結果超過模時，模丟失。當模為整數時，按模運算也可理解成除以模求餘數的過程。常用符號“mod”表示按模運算。   

在電腦中，一個具體資料類型的位元是確定的。例如，位元組型資料為8位，當每一位都為1時，再加1，最高位將產生進位。如果不採取措施，這個進位將被丟失，丟失的量為2^8=256，這就是8位元據的模。從上面的例子已看到，按模運算，可以使正數加負數轉化成正數加正數(11-5=11+7)，一個負數可以等價於一個正數(-5等價於+7)。看一下電腦中情況。例如，要將+0001111(15)和-0001100(-12)相加，實際是要做減法，但不這樣做，而是先將-0001100與模10000000(256)相加，得11110100(-12+256=244)，再拿原被加數0001111和它(11110100)相加，得00000011(15+244=256+3=3)，最高位的進位，即模丟失。

這樣，同樣得到了正確結果。由此可見，在電腦中，只要將負數加模就可以轉化成正數，使正數加負數轉化成正數加正數。

把一個負數加模的結果稱為該負數的補碼(結果是一個正數，它和該負數是等價的，確切地說，是一對一的，因而可看作是該負數的編碼)，定義正數的補碼就是它本身，符號位取0，即和原碼相同。這就是補碼的通俗定義。將這個定義用數學形式表示出來，就可得到補碼的正規定義：

其中n為補碼的位元。這個定義實際也將真值的範圍給出來了，當n=8時，-127≤x<127。和原碼相比，補碼錶示可多表示一個數。當n=8時，多表示的數是-127=-128。

2)補碼的求法

對正數，補碼同原碼。例如，x=+0101001，[x]補=[x]原=00101001。對負數，由定義求補碼，需做減法，不方便。經推導可知，負數的補碼等於其原碼除符號位外按位“求反”(1變0，0變1)，末位再加1。例如，y=-0001100，[y]原=10001100，[Y]補=11110011+1=11110100。   

多做幾例，可得出一種心算求補的方法——從最低位開始至找到的第一個1均不變，符號位不變，這之間的各位“求反”(該方法僅用於做題)。   

由求補的方法可以看出，對於補碼，其符號位和原碼的符號匣相同，也表示了真值的符號。   

3)補碼的性質

①[x+y]補=[x]補+[y]補，即兩數之和的補碼等於各自補碼的和。   

②[x-y]補=[x]補+[-y]補，即兩數之差的補碼等於被減數的補碼與減數相反數的補碼之和。   

③[[x]補]補=[x]原，即按求補的方法，對[x]補再求補一次，結果等於[x]原。   

4)利用補碼進行加、減運算   

引進補碼的目的是方便帶符號數的加、減運算，這裡僅看一下加法，舉幾個例子。請注意：符號位也參與運算，符號位出現的進位為模，應丟棄。下面是三個利用補碼求和的例子。這裡假定機器數為8位。

符號位為0，真值為正，所以，x+Y，=+0001011(2)(+11)。

符號位有進位，自動丟失。符號位為1，真值為負，對[x+y]補求補得[x+Y]原=10001011，由此，x+Y= -0001011(-11)。

符號位有進位，自動丟失。符號位為O，真值為正，所以，x+Y=+0000111(+7)。   

上面是三種類型的數的補碼運算：正數+正數、負數+負數、正數+負數。負數+正數和正數+負數是一樣的。由此可見，採用補碼錶示，進行數的加法運算可統一成進行數的補碼加法運算。   

上面的例子只是用來說明引進補碼的好處，其運算過程不是電腦的實際過程。在電腦中不必每次都進行原碼與補碼之間的轉換，可以將運算結果以補碼形式儲存起來，以便直接參与後面的運算。   

3．反碼簡介   

對正數，其反碼與原碼相同，也與補碼相同。對負數，其反碼等於原碼除符號位外，按位求反(末位不加1)。利用反碼也可使帶符號數的加、減法轉化為單純的加法，但麻煩一些。一般把求反碼作為求補的中間過程，即[x]補=[x]反+1。   

上面所介紹的機器數編碼主要用於組合語言編程。在進階語言中，數可帶有符號，但編譯器最終還是將其表示成機器數。

 

slowgrace註：在VB中，負數也是補碼錶示的。比如在立即視窗做如下測試：

?hex(clng(-1))

FFFFFFFF