淺談 System.Decimal 結構

引言

我們知道，Microsoft .NET Framework 中的 System.Decimal 結構（在 C# 語言中等價於 decimal 關鍵字）用來表示十進位數，範圍從 -(296 - 1) 到 296 - 1，並且可以有 28 位小數。這就是說：

• decimal.MinValue = -79,228,162,514,264,337,593,543,950,335 = -(296 - 1)
• decimal.MaxValue = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,335 = 296 - 1
• decimal.Epsilon = 0.0000000000000000000000000001 = 10-28

上面前兩個是 decimal 的靜態唯讀欄位。遺憾的是，第三個不屬於 decimal 結構。

decimal 內部使用 4 個 32-bit 的 System.Int32 來儲存，佔用 128 bits = 16 bytes。這 128 bits 分配如下：

• 96 bits 表示從 0 至 296 - 1 的整數，分布在 3 個 32-bit 的 System.Int32 中。
• 剩下的 1 個 32-bit 的 System.Int32 包括符號位和比例因素。
• 第 31 bit 是符號位，0 表示正數，1 表示負數。
• 第 16 至 23 bit 表示比例因素，必須包含一個 0 至 28 之間的指數，指示 10 的冪，即小數點的位置，也就是小數點右邊有幾位元字。
• 其實表示 0 至 28 之間的指數只需 5 bits 就夠了，而上面的第 16 至 23 bit 共 8 bits = 1 byte。也就是說剩下的 3 bits (第 21 至 23 bit) 一定是零。
• 其餘 bits （0 - 15 bit 和 24 - 30 bit）不被使用，必須為零。

decimal.GetBits 方法就返回上述 decimal 的內部表示。而 decimal (int[] bits) 建構函式就使用這個內部表示構造來構造 decimal 執行個體。一個 decimal 可能會有幾種不同的內部表示，所有這些內部表示均同樣有效，並且在數值上相等。

TinyDecimal 資料類型

為了更好地理解 decimal 結構，我們來構造一個只有 8 bits = 1 byte 的 TinyDecimal 結構：

• number: 第 0 至 5 bit （共 6 bits）表示從 0 至 26 - 1 的整數，共有 64 個。
• exp: 第 6 bit 表示比例因素，包含一個 0 至 1 之間的指數，指示 10 的冪，即小數點的位置。0 表示小數點在最右邊。
• sign: 第 7 bit 是符號位，0 表示正數，1 表示負數。

因此：

• TinyDecimal.MinValue = -63 = -(26 - 1)
• TinyDecimal.MaxValue = 63 = 26 - 1
• TinyDecimal.Epsilon = 0.1 = 10-1

也就是說，TinyDecimal 的表示範圍從 -63 至 63，並且可以有 1 位小數。

TinyDecimal 的正數有以下兩種情形：

• 當 exp = 1 時: 0.1, 0.2, ... , 0.9, 1.0, 1.1, ... , 6.2, 6.3 。共 63 個。
• 當 exp = 0 時：1, 2, ... , 63 。共 63 個，但前 6 個（1 = 1.0, 2 = 2.0, ... , 6 = 6.0）和上面的重複了。

所以 TinyDecimal 的正數共有 63 + (63 - 6) = 120 個。負數的情況是一樣的，也有 120 個。所以 TinyDecimal 有 241 個不同的值，即正數和負數各 120 個，加上一個零。注意，零有四種不同的表示：+0, -0, +0.0, -0.0。TinyDecimal 的正數順序排列如下：

• 0.1, 0.2, ... , 6.2, 6.3, 7, 8, 9, 10, 11, ... , 62, 63

注意，在 TinyDecimal 中，6.3 的下一個數就是 7，7 的下一個數就是 8，根據就不存在 6.4 和 7.1 之類的數。並且有以下運算例子：

• 6.3 + 0.1 = 6.3
• 6.3 + 0.3 = 7
• 7 + 0.4 = 7
• 7 + 0.6 = 8
• 63 + 1 = overflow

我們知道，1 byte 可以表示 28 = 256 個不同的值。而 TinyDecimal 有 241 個不同的值，計算如下：241 = 256 - 6 * 2 - 3 ，即需要扣除 6 * 2 個重複的正負數和 3 個重複的零。

測試程式

System.Decimal 結構就是以上 TinyDecimal 結構的放大版本。為了更好地理解以上內容，我寫了一個如下所測試程式：

 1 using System; 2   3 static class DecimalTester 4 { 5   static void Main() 6   { 7     var epsilon = 0.0000000000000000000000000001m; 8     var a = decimal.MaxValue / 100; 9     var b = 7.1234567890123456789012345685m;10     Console.WriteLine("{0}: 1e-28", epsilon);11     Console.WriteLine("{0}: 1e-28 + 0.1", 0.1m + epsilon);12     Console.WriteLine("{0}: a", a);13     Console.WriteLine("{0,-30}: a + 0.004", a + 0.004m);14     Console.WriteLine("{0,-30}: a + 0.005", a + 0.005m);15     Console.WriteLine("{0,-30}: a + 0.01", a + 0.01m);16     Console.WriteLine("{0,-30}: a + 0.099", a + 0.099m);17     Console.WriteLine("{0,-30}: a + 0.1", a + 0.1m);18     Console.WriteLine("{0,-30}: (a + 0.1) + 1e-28", a + 0.1m + epsilon);19     Console.WriteLine("{0,-30}: a + (0.1 + 1e-28)", a + (0.1m + epsilon));20     Console.WriteLine("{0}: b", b);21     Console.WriteLine("{0,-30}: b + 1", b + 1);22   }23 }

這個程式第 7 行的 epsilon 就是引言中提到的 decimal.Epsilon，其值為 10-28，等於 decimal 能夠表示最小正數。

在 Linux 中編譯和運行

在 Arch Linux 64-bit 作業系統的 Mono 3.0.4 環境下編譯和運行：

work$ dmcs --versionMono C# compiler version 3.0.4.0work$ dmcs DecimalTester.cswork$ mono DecimalTester.exe0.0000000000000000000000000001: 1e-280.1000000000000000000000000001: 1e-28 + 0.1792281625142643375935439503.35: a792281625142643375935439503.35: a + 0.004792281625142643375935439503.4 : a + 0.005792281625142643375935439503.4 : a + 0.01792281625142643375935439503.4 : a + 0.099792281625142643375935439503.5 : a + 0.1792281625142643375935439503.5 : (a + 0.1) + 1e-28792281625142643375935439503.5 : a + (0.1 + 1e-28)7.1234567890123456789012345685: b8.123456789012345678901234569 : b + 1

上述運行結果各行對應如下：

1. epsilon = 10-28 = 0.0000000000000000000000000001，這是 decimal 能夠表示的最小正數。
2. epsilon + 0.1 = 10-28 + 0.1 = 0.1000000000000000000000000001 。
3. a = decimal.Value / 100 = 79...3.35 。這個數有 29 位有效數字。
4. a + 0.004 = 79...3.354，舍入至 79...3.350，就等於 a 。
5. a + 0.005 = 79...3.355，舍入至 79...3.360，但這個數無法在 decimal 中表示，只好舍入至 79...3.400，這個數只有 28 位有效數字。
6. a + 0.01 = 79...3.36，如上所述，這個數無法在 decimal 中表示，只好舍入至 79...3.40 。
7. a + 0.099 = 79...3.449，舍入至 79...3.400 。
8. a + 0.1 = 79...3.45，舍入至 79...3.50 。
9. (a + 0.1) + 10-28，結果和上一行相同。
10. a + (0.1 + 10-28)，結果和上一行相同。
11. b = 7.1234567890123456789012345685 。這個數有 29 位有效數字。
12. b + 1 = 8.1...85 。但這個數無法在 decimal 中表示，只好舍入至 8.1...90 。

從上面的分析可以看出，在 Linux 的 Mono 環境中 decimal 的算術運算的舍入規則是四捨五入。

在 Windows 中編譯和運行

在 Windows 7 SP1 32-bit 作業系統的 Microsoft .NET Framework 4.5 環境下編譯和運行：

D:\work> csc DecimalSumTester.csMicrosoft(R) Visual C# 編譯器版本 4.0.30319.17929用於 Microsoft(R) .NET Framework 4.5著作權 (C) Microsoft Corporation。著作權所有，並保留一切權利。D:\work> DecimalTester0.0000000000000000000000000001: 1e-280.1000000000000000000000000001: 1e-28 + 0.1792281625142643375935439503.35: a792281625142643375935439503.35: a + 0.004792281625142643375935439503.4 : a + 0.005792281625142643375935439503.4 : a + 0.01792281625142643375935439503.4 : a + 0.099792281625142643375935439503.4 : a + 0.1792281625142643375935439503.4 : (a + 0.1) + 1e-28792281625142643375935439503.5 : a + (0.1 + 1e-28)7.1234567890123456789012345685: b8.123456789012345678901234568 : b + 1

上述運行結果各行對應如下：

1. epsilon = 10-28 = 0.0000000000000000000000000001，這是 decimal 能夠表示的最小正數。
2. epsilon + 0.1 = 10-28 + 0.1 = 0.1000000000000000000000000001 。
3. a = decimal.Value / 100 = 79...3.35 。這個數有 29 位有效數字。
4. a + 0.004 = 79...3.354，舍入至 79...3.350，就等於 a 。
5. a + 0.005 = 79...3.355，舍入至 79...3.360，但這個數無法在 decimal 中表示，只好舍入至 79...3.400，這個數只有 28 位有效數字。
6. a + 0.01 = 79...3.36，如上所述，這個數無法在 decimal 中表示，只好舍入至 79...3.40 。
7. a + 0.099 = 79...3.449，舍入至 79...3.400 。
8. a + 0.1 = 79...3.45，舍入至 79...3.40 。
9. (a + 0.1) + 10-28，結果和上一行相同，等於 79...3.40 。因為 10-28 太小了，加上去也改變不了什麼。
10. a + (0.1 + 10-28) = 79...3.4500000000000000000000000001，舍入至 79...3.50...0 。和上一行對比，發現加法不滿足結合律。
11. b = 7.1234567890123456789012345685 。這個數有 29 位有效數字。
12. b + 1 = 8.1...85 。但這個數無法在 decimal 中表示，只好舍入至 8.1...80 。

從上面的分析可以看出，在 Windows 的 .NET Framework 環境中 decimal 的算術運算的舍入規則是四捨六入五取偶。所以造成第 8 、9 和 12 行和 Linux 中的輸出不同。

由於 decimal 的精度是有限的，只能表示有限個分散的值，在進行一些特殊的算術運算步驟時，會產生非常出乎意料的結果。且聽下回分解。

參考資料

1. MSDN: Decimal 結構 (System)
2. MSDN: Decimal.GetBits 方法 (System)
3. MSDN: Decimal 建構函式 (Int32[]) (System)