文本比較演算法Ⅳ——Nakatsu演算法

　　在“文本比較演算法Ⅰ——LD演算法”、“文本比較演算法Ⅱ——Needleman/Wunsch演算法”中介紹的LD演算法和LCS演算法都是基於動態規劃的。它們的時間複雜度O(MN)、空間複雜度O(MN)（在基於計算匹配字串情況下，是不可最佳化的。如果只是計算LD和LCS，空間佔用可以最佳化到O(M)）。

　　Nakatsu演算法在計算匹配字串的情況下，有著良好的時間複雜度O(N(M-P))和空間複雜度O(N2)，而且在採取適當的最佳化手段時，可以將空間複雜度最佳化到O(N)，這是一個很誘人的結果。下面將全面介紹Nakatsu演算法。

　　字串A和字串B，計算LCS(A,B)

　　定義一：設M=Len(A)，N=Len(B)，不失一般性，假設M≤N。（為後面的計算提供方便。若不滿足，交換A、B即可）

　　定義二：A=a1a2……aM，表示A是由a1a2……aM這M個字元組成

　　　　　　B=b1b2……bN，表示B是由b1b2……bN這N個字元組成

　　　　　　LCS(i,j)=LCS(a1a2……ai,b1b2……bj)，其中1≤i≤M，1≤j≤N

　　定義三：L(k,i)表示，所有與字串a1a2……ai有長度為k的LCS的字串b1b2……bj中j的最小值。

　　　　　　用公式表示就是：L(k,i)=Min｛j｝ Where LCS(i,j)=k

　　　　　　這個概念比較拗口，比較難以理解。筆者也是反覆研讀多次，才理解的。

　　　　　　用一個例子來說明：A="CD"，B="CEFDRT"。

　　　　　　很明顯的是LCS(2,1)=1，LCS(2,2)=1，LCS(2,3)=1。

　　　　　　滿足LCS(2,j)=1這個條件的j有三個，分別是j=1、j=2、j=3。其中j最小值是1。故L(1,2)=1

 

　　為了推導L的計算，有下面幾個定理。

　　定理一：任意的i，1≤i≤M。有L(1,i)＜L(2,i)＜L(3,i)……

　　定理二：任意的i，1≤i≤M-1。任意的k，1≤k≤M。有L(k,i+1)≤L(k,i)

　　定理三：任意的i，1≤i≤M-1。任意的k，1≤k≤M－1。有L(k,i)＜L(k+1,i+1)

　　定理四：如果L(k,i+1)存在，則L(k,i+1)的計算公式為

　　　　　　L(k,i+1)=Min｛Min｛j｝，L(k,i)｝ Where ｛ai+1=bj And j>L(k-1,i)｝

　　上面四個定理證明從略。可以從上面四個定理推匯出L的計算。

 

　　故，L的計算公式為

　　　　L(1,1)=Min｛j｝ Where ｛a1=bj｝

　　　　L(1,i)=Min｛Min｛j｝ Where ｛ai=bj｝，L(1,i-1)｝ 　　此時，i＞1

　　　　L(k,i)=Min｛Min｛j｝ Where ｛ai=bj  And j＞L(k-1,i-1)｝，L(k,i-1)｝ 　　此時，i＞1，k＞1

　　　　註：以上公式中，若找不到滿足Where後麵條件的j，則j=MaxValue

　　　　　　當i＜k時，則L(k,i)=MaxValue

　　　　　　MaxValue是一個常量，表示“不存在”

 

　　舉例說明：A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，計算LCS(A,B)

　　第一步：初始化L矩陣，表格中V=MaxValue。

 

Nakatsu演算法L矩陣

	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
k=1
k=2	V
k=3	V	V
k=4	V	V	V
k=5	V	V	V	V
k=6	V	V	V	V	V
k=7	V	V	V	V	V	V

 

　　第二步：依據上面的計算公式，計算表格的其餘儲存格

Nakatsu演算法L矩陣

	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
k=1	1	1	1	1	1	1	1
k=2	V	8	2	2	2	2	2
k=3	V	V	11	4	4	4	3
k=4	V	V	V	V	6	6	6
k=5	V	V	V	V	V	8	7
k=6	V	V	V	V	V	V	11
k=7	V	V	V	V	V	V	V

　　第三步：在矩陣中找尋對角線

 　　　　1、先找如下的對角線，對角線中有四個儲存格的值是V(MaxValue)。不是本演算法的合適答案

Nakatsu演算法L矩陣

	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
k=1	1	1	1	1	1	1	1
k=2	V	8	2	2	2	2	2
k=3	V	V	11	4	4	4	3
k=4	V	V	V	V	6	6	6
k=5	V	V	V	V	V	8	7
k=6	V	V	V	V	V	V	11
k=7	V	V	V	V	V	V	V

 　　　　2、再找右邊的一條對角線。

Nakatsu演算法L矩陣

	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
k=1	1	1	1	1	1	1	1
k=2	V	8	2	2	2	2	2
k=3	V	V	11	4	4	4	3
k=4	V	V	V	V	6	6	6
k=5	V	V	V	V	V	8	7
k=6	V	V	V	V	V	V	11
k=7	V	V	V	V	V	V	V

　　　　　　對角線上的所有儲存格的值都不是V(MaxValue)。故本對角線就是演算法的求解。

　　　　　　LCS(A,B)就是對角線的長度。故LCS(A,B)=6。

　　　　　　本演算法的精妙之處就在於這六個儲存格的值所對應的字串B的字元就是最長公用子串。

　　　　　　最長公用子串：b1b2b4b6b8b11=GATCGA

 

　　　　　　再將最長公用子串在兩個字串中搜尋一遍，能得出字串的匹配字串。

　　　　　　　　A：GGA_TC_G__A

　　　　　　　　B：GAATTCAGTTA

　　　　　　　　註：原本以為能很容易得出匹配字串。不過現在看來還需費一番周折，也是考慮不周。不過已經有大概的解決方案，留待後文介紹。

　　　　　　

　　

　　Nakatsu演算法關鍵就是找尋滿足條件對角線（對角線的值沒有MaxValue）,故計算的過程可以沿著對角線進行，先計算第一條對角線，看是否滿足對角線條件，滿足則退出，不滿足則繼續計算下一條對角線，直到計算出滿足條件的對角線。

　　假設LCS(A,B)=P，則一共需要計算M-P+1條對角線，每條對角線的比較次數為N，則Nakatsu演算法的時間複雜度為O((M-P+1)N)，空間複雜度為O(M2)，但由於計算順序的最佳化，可以將空間複雜度降為O(M)，這應該是令人滿意的了。有關的Nakatsu演算法的最佳化，留待後文介紹。

 

　　本文參考《最長公用子序列的問題的改進快速演算法》作者：李欣、舒風笛。在此，向他們表示敬意。

　　若各位網友誰有更好的文本比較演算法，也歡迎寫博交流。