python 映像的離散傅立葉變換

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　　映像(MxN)的二維離散傅立葉變換可以將映像由空間域變換到頻域中去，空間域中用x,y來表示空間座標，頻域由u,v來表示頻率，二維離散傅立葉變換的公式如下：

 

　　在python中，numpy庫的fft模組有實現好了的二維離散傅立葉變換函數，函數是fft2，輸入一張灰階圖，輸出經過二維離散傅立葉變換後的結果，但是具體實現並不是直接用上述公式，而是用快速傅立葉變換。結果需要通過使用abs求絕對值才可以進行可視化，但是視覺效果並不理想，因為傅立葉頻譜範圍很大，所以要用log對數變換來改善視覺效果。

　　另外，映像變換的原點需要移動到頻域矩形的中心，所以要對fft2的結果使用fftshift函數。最後也可以使用log來改善視覺效果。

　　代碼如下：

 1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3  4 img = plt.imread(‘photo.jpg‘) 5  6 #根據公式轉成灰階圖 7 img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2] 8  9 #顯示原圖10 plt.subplot(231),plt.imshow(img,‘gray‘),plt.title(‘original‘)11 12 #進行傅立葉變換，並顯示結果13 fft2 = np.fft.fft2(img)14 plt.subplot(232),plt.imshow(np.abs(fft2),‘gray‘),plt.title(‘fft2‘)15 16 #將映像變換的原點移動到頻域矩形的中心，並顯示效果17 shift2center = np.fft.fftshift(fft2)18 plt.subplot(233),plt.imshow(np.abs(shift2center),‘gray‘),plt.title(‘shift2center‘)19 20 #對傅立葉變換的結果進行對數變換，並顯示效果21 log_fft2 = np.log(np.abs(fft2))22 plt.subplot(235),plt.imshow(log_fft2,‘gray‘),plt.title(‘log_fft2‘)23 24 #對中心化後的結果進行對數變換，並顯示結果25 log_shift2center = np.log(np.abs(shift2center))26 plt.subplot(236),plt.imshow(log_shift2center,‘gray‘),plt.title(‘log_shift2center‘)

　　運行結果：

　　 根據公式實現的二維離散傅立葉變換如下：

 1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 PI = 3.141591265 4 img = plt.imread(‘temp.jpg‘) 5  6 #根據公式轉成灰階圖 7 img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2] 8  9 #顯示原圖10 plt.subplot(131),plt.imshow(img,‘gray‘),plt.title(‘original‘)11 12 #進行傅立葉變換，並顯示結果13 fft2 = np.fft.fft2(img)14 log_fft2 = np.log(np.abs(fft2))15 plt.subplot(132),plt.imshow(log_fft2,‘gray‘),plt.title(‘log_fft2‘)16 17 h , w = img.shape18 #產生一個同樣大小的複數矩陣19 F = np.zeros([h,w],‘complex128‘)20 for u in range(h):21     for v in range(w):22         res = 023         for x in range(h):24             for y in range(w):25                 res += img[x,y] * np.exp(-1.j * 2 * PI * (u * x / h + v * y / w))26         F[u,v] = res27 log_F = np.log(np.abs(F))28 plt.subplot(133),plt.imshow(log_F,‘gray‘),plt.title(‘log_F‘)

　　直接根據公式實現實在是太慢，以至於我都不想等它跑出結果……

 

python 映像的離散傅立葉變換