php演算法學習之之動態規劃（二）

之前簡單介紹了動態規劃的概念和解題步驟，但是學習中感覺動態規劃的應用範圍太靈活了，這裡就挑一些常見的題目多練習一下。

1、最長公用子序列（字串相關）

給出兩個字串，找到最長公用子序列(LCS)，返回LCS的長度。例如：
例如：給出"ABCD"和"EDCA"，這個LCS是 "A"(或 D或C)，返回1；
給出"ABCD" 和 "EACB"，這個LCS是"AC"返回2。

思路：長度為m的字串a和長度為n的字串b，他們的最長公用子序列longest[m][n]可通過m-1長度的a和n-1長度的b推得：當a[m]等於b[n]的時候，longest[m][n] = longest[m-1][n-1] + 1；當a[m]不等於b[n]時，longest[m][n]=max(longest[m-1][n], longest[m][n-1])。當字串a或者b為空白字串時，它與另一個字串的最長公用子序列必然是0。最後題目的解即為longest[strlen(a)][strlen(b)]。
代碼：

2、編輯距離（字串相關）

給出兩個單詞word1和word2，計算出將word1 轉換為word2的最少操作次數。
你總共三種操作方法：插入一個字元、刪除一個字元、替換一個字元。
例如：給出 work1="mart" 和 work2="karma"，返回 3。

思路：對於長度為m的字串a和長度為n的字串b（m、n都大於0），如果a[m]不等於b[n]，那麼a變為b的最小操作次數=min(a[m-1]變為b[n]的最小操作次數+1，a[m]變為b[n-1]的最小操作次數+1，a[m-1]變為b[n-1]的最小操作次數)；如果a[m]等於b[n]，那麼a[m]變為b[n]的最小操作次數=a[m-1]變為b[n-1]的最小操作次數。
代碼：

3、背包問題

給出n個物品的體積A[i]和其價值V[i]，將他們裝入一個大小為m的背包，最多能裝入的總價值有多大？
例如：對於物品體積[2, 3, 5, 7]和對應的價值[1, 5, 2, 4], 假設背包大小為10的話，最大能夠裝入的價值為9。

思路：當空間為v時，對於任意一個物品i，如果i可以放入（v大於等於weight[i]），則此時v空間的價值f(v)等於f(v-weight[i]) + values[i]，因此通過遍曆全部物品可以找到在空間為v時所能得到的最大值。
代碼：

4、區間問題（Google面試題）

有n個硬幣排成一條線，每一枚硬幣有不同的價值。兩個參賽者輪流一從任意一邊取一枚硬幣，直到沒有硬幣為止。計算拿到的硬幣總價值，價值最高的獲勝。請判定第一個玩家是輸還是贏？
例如：給定數組[3,2,2]，返回true；給定數組[1,20,15]，返回false。

思路：對於給定的一個閉區間（i到j，j大於等於i），玩家A拿硬幣只有兩種拿法，從左拿或者從右拿。如果從左拿，則A能拿到的最大面值=拿到的這枚硬幣的面值 + 剩餘區間的總面值 - B玩家在剩餘區間能拿到的最大面值；A從右拿的情況與從左拿類似。由此我們可以得到狀態轉移方程。而通過兩次迴圈我們能夠得到長度為n的序列裡任意i到j區間的面值總和，以及j=i的情況下先手玩家拿到的最大值（即第i個硬幣的面值）。
代碼：

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