原碼、反碼、補碼，電腦中負數的表示

原碼：將一個整數，轉換成二進位，就是其原碼。如單位元組的5的原碼為：0000 0101；-5的原碼為1000 0101。
反碼：正數的反碼就是其原碼；負數的反碼是將原碼中，除符號位以外，每一位取反。如單位元組的5的反碼為：0000 0101；-5的反碼為1111 1010。
補碼：正數的補碼就是其原碼；負數的反碼+1就是補碼。如單位元組的5的補碼為：0000 0101；-5的補碼為1111 1011。
 
 
在電腦中，正數是直接用原碼錶示的，如單位元組5，在電腦中就表示為：0000 0101。負數用補碼錶示，如單位元組-5，在電腦中表示為1111 1011。
這兒就有一個問題，為什麼在電腦中，負數用補碼錶示呢？為什麼不直接用原碼錶示？如單位元組-5：1000 0101。
我想從軟體上考慮，原因有兩個：
 
1、表示範圍
拿單位元組整數來說，無符號型，其表示範圍是[0,255]，總共表示了256個資料。有符號型，其表示範圍是[-128,127]。
先看無符號，0表示為0000 0000，255表示為1111 1111，剛好滿足了要求，可以表示256個資料。
再看有符號的，若是用原碼錶示，0表示為0000 000。因為咱們有符號，所以應該也有個負0（雖然它還是0）：1000 0000。
那我們看看這樣還能夠滿足我們的要求，表示256個資料嗎？
正數，沒問題，127是0111 1111，1是0000 0001，當然其它的應該也沒有問題。
負數呢，-1是1000 0001，那麼把負號去掉，最大的數是111 1111，也就是127，所以負數中最小能表示的資料是-127。
這樣似乎不太對勁，該如何去表示-128？貌似直接用原碼無法表示，而我們卻有兩個0。
如果我們把其中的一個0指定為-128，不行嗎？這也是一個想法，不過有兩個問題：一是它與-127的跨度過大；二是在用硬體進行運算時不方便。
所以，電腦中，負數是採用補碼錶示。如單位元組-1，原碼為1000 0001，反碼為1111 1110，補碼為1111 1111，電腦中的單位元組-1就表示為1111 1111。
單位元組-127，原碼是1111 1111，反碼1000 0000，補碼是1000 0001，電腦中單位元組-127表示為1000 0001。
單位元組-128，原碼貌似表示不出來，除了符號位，最大的數只能是127了，其在電腦中的表示為1000 0000。
 
2、大小的習慣（個人觀點）
也可以從資料大小上來理解。還是以單位元組資料為例。有符號數中，正數的範圍是[1,127]，最大的是127，不考慮符號為，其表示為111 1111；最小的是1，不考慮符號為，其表示為000 0001。
負數中，最大的是-1，我們就用111 1111表示其數值部分。後面的資料依次減1。減到000 0001的時候，我們用它標示了-127。再減去1，就變成000 0000了。還好我們有符號為，所以有兩個0。把其中帶符號的0拿過來，表示-128，剛好可以滿足表示範圍。
 
 
以上只是從軟體的角度進行了分析，當然，從硬體的角度出發，負數使用補碼錶示也是有其原因的，畢竟電腦中，最終實現運算的還是硬體。主要原因有三：
 
1、負數的補碼，與其對應正數的補碼之間的轉換可以用同一種方法----求補運算完成，簡化硬體。
如：
                    原碼                反碼                補碼
-127 -〉127    1000 0001  -〉 0111 1110  -〉 0111 1111
127 -〉-127    0111 1111  -〉 1000 0000  -〉 1000 0001
-128 -〉128    1000 0000  -〉 0111 1111  -〉 1000 0000
128 -〉-128    1000 0000  -〉 0111 1111  -〉  1000 0000
可以發現，負數和正數求補的方法是一樣的。
 
2、可以將減法變為加法，省去了減法器。
在電腦中，我們可以看到，對其求補，得到的結果是其數值對應的負數。同樣，負數也是如此。
運算中，減去一個數，等於加上它的相反數，這個小學就學過了。既然其補碼就是其相反數，我們加上其補碼不就可以了。
如：A - 127，
也就相當於：A + (-127)，
又因為負數是以補碼的形式儲存的，也就是負數的真值是補碼，既然這樣，當我們要減一個數時，直接把其補碼拿過來，加一下，就OK了，我們也可以放心地跟減法說拜拜了！
當然這也涉及到類型轉換的問題，如單位元組128，其原碼是1000 0000，其補碼也是1000 0000。這樣我們+128，或者-128，都是拿1000 0000過來相加，這樣不混亂掉了？還好，各個程式設計語言的編譯器對有類型轉換相關的限制。
如：（假設常量都是單位元組）
1 + 128， 真值的運算是 0000 0001 + 1000 0000 ，如果你將結果賦值給一個單位元組有符號正數，編輯器會提示你超出了表示範圍。因為運算的兩個資料是無符號的，其結果也是無符號的129，而有符號單位元組變數最大可以表示的是127。
1 - 128，真知的運算是 0000 0001 + 1000 0000 ，因為-128是有符號，其運算結果也是有符號，1000 0001，剛好是-127在電腦中的真值。
 
3、無符號及帶符號的加法運算可以用同一電路完成。
有符號和無符號的加減，其實都是把它們的真值拿過來相加。真值，也就是一個數值在電腦中的二進位表示。正數的真值就是其原碼，負數的真值是其補碼。所以，有符號和無符號由編譯器控制，電腦要做的不過是把兩個真值拿過來相加。

本文來自CSDN部落格，轉載請標明出處：http://blog.csdn.net/njuitjf/archive/2009/09/23/4585247.aspx