狐狸與鴨子的問題

話說，一個圓形池塘，鴨子在池塘裡，狐狸在岸邊。鴨子只有遊到岸邊才能飛走。而狐狸想吃鴨子。但是狐狸又不會遊泳，只能在岸上跑。狐狸在岸上奔跑的速度是鴨子在水裡遊的速度的4倍，問鴨子怎樣才能飛走而不被狐狸吃掉。假設狐狸足夠聰明。

一個可行的想法是，鴨子在池塘裡面遊小圈，而狐狸在面跑大圈，但是被鴨子越落越遠，之後當鴨子和狐狸處於最遠距離時，鴨子徑直遊向岸邊飛走，而狐狸要抓到鴨子得跑半圈，但是跑到鴨子起飛地點時，鴨子早就飛走了。那麼計算一下小圈半徑與大圈半徑的關係。

鴨子必須越遊落下狐狸越遠，得出：

r/R < 1/4-----------(1)

之後當鴨子和狐狸距離最遠時，鴨子遊向岸邊，而狐狸跑半圈卻追不到鴨子，又得到一個關係：

(R-r)/v < pi*R/4v => r > R - pi*R/4 -------(2)

綜合(1)(2)得：

R-pi*R/4<r<R/4----------(3)

這就意味著鴨子挑選一個合適的半徑r,滿足(3)這個不等式，之後就一直繞圈遊，狐狸不得不在岸上跟著跑，因為不跟著跑，鴨子會越來越離狐狸遠。但是跑也是無用功，因為狐狸永遠跟不上鴨子的速度。當鴨子和狐狸的距離為R+r時，鴨子就朝著岸邊遊，這時狐狸想抓也抓不到。這樣鴨子就成功逃走了。