由Python運算π的值深入Python中科學計算的實現

π是一個無數人追隨的真正的神奇數字。我不是很清楚一個永遠重複的無理數的迷人之處。在我看來，我樂於計算π，也就是計算π的值。因為π是一個無理數，它是無限的。這就意味著任何對π的計算都僅僅是個近似值。如果你計算100位，我可以計算101位並且更精確。迄今為止，有些人已經選拔出超級電腦來試圖計算最精確的π。一些極值包括 計算π的5億位。你甚至能從網上找到包含 π的一百億位的文字檔（注意啦！下載這個檔案可能得花一會兒時間，並且沒法用你平時使用的記事本應用程式開啟。）。對於我而言，如何用幾行簡單的Python來計算π才是我的興趣所在。
你總是可以 使用 math.pi 變數的 。它被 包含在 標準庫中， 在你試圖自己 計算它之前，你應該去使用它 。 事實上 ， 我們將 用它來計算 精度 。作為 開始， 讓我們看 一個 非常直截了當的 計算Pi的 方法 。像往常一樣，我將使用Python 2.7，同樣的想法和代碼可能應用於不同的版本。我們將要使用的大部分演算法來自Pi WikiPedia page並加以實現。讓我們看看下面的代碼：

importsysimportmath defmain(argv):   iflen(argv) !=1:    sys.exit('Usage: calc_pi.py ')   print'\nComputing Pi v.01\n'     a=1.0  b=1.0/math.sqrt(2)  t=1.0/4.0  p=1.0       foriinrange(int(sys.argv[1])):    at=(a+b)/2    bt=math.sqrt(a*b)    tt=t-p*(a-at)**2    pt=2*p         a=at;b=bt;t=tt;p=pt       my_pi=(a+b)**2/(4*t)  accuracy=100*(math.pi-my_pi)/my_pi       print"Pi is approximately: "+str(my_pi)  print"Accuracy with math.pi: "+str(accuracy)   if__name__=="__main__":  main(sys.argv[1:])

這是個非常簡單的指令碼，你可以下載，運行，修改，和隨意分享給別人。你能夠看到類似下面的輸出結果：

你會發現，儘管 n 大於4 ,我們逼近 Pi 精度卻沒有多大的提升。 我們可以猜到即使 n的值更大，同樣的事情（pi的逼近精度沒有提升）依舊會發生。幸運的是，有不止一種方法來揭開這個謎。使用 Python Decimal （十進位）庫，我們可以就可以得到更高精度的值來逼近Pi。讓我們來看看庫函數是如何使用的。這個簡化的版本，可以得到多於11位的數字 通常情況小Python 浮點數給出的精度。下面是Python Decimal 庫中的一個例子 ：

wpid-python_decimal_example-2013-05-28-12-54.png

看到這些數字。不對！ 我們輸入的僅是 3.14，為什麼我們得到了一些垃圾(junk)？ 這是記憶體垃圾(memory junk)。 簡單點說，Python給你你想要的十進位數，再加上一點點額外的值。 只要精度小於垃圾數，它不會影響任何計算。通過設定getcontext().prec 你可以的到你想要的位元 。我們試試。

看到這些數字。不對！ 我們輸入的僅是 3.14，為什麼我們得到了一些垃圾(junk)？ 這是記憶體垃圾(memory junk)。 簡單點說，Python給你你想要的十進位數，再加上一點點額外的值。 只要精度小於垃圾數，它不會影響任何計算。通過設定getcontext().prec 你可以的到你想要的位元 。我們試試。

很好。 現在讓我們 試著用這個 來 看看我們是否能 與我們以前的 代碼 有更好的 逼近 。 現在， 我通常 是反對 使用“ from library import * ” ， 但在這種情況下， 它會 使代碼 看起來更漂亮 。

importsysimportmathfromdecimalimport* defmain(argv):   iflen(argv) !=1:    sys.exit('Usage: calc_pi.py ')   print'\nComputing Pi v.01\n'     a=Decimal(1.0)  b=Decimal(1.0/math.sqrt(2))  t=Decimal(1.0)/Decimal(4.0)  p=Decimal(1.0)       foriinrange(int(sys.argv[1])):    at=Decimal((a+b)/2)    bt=Decimal(math.sqrt(a*b))    tt=Decimal(t-p*(a-at)**2)    pt=Decimal(2*p)         a=at;b=bt;t=tt;p=pt       my_pi=(a+b)**2/(4*t)  accuracy=100*(Decimal(math.pi)-my_pi)/my_pi       print"Pi is approximately: "+str(my_pi)  print"Accuracy with math.pi: "+str(accuracy)   if__name__=="__main__":  main(sys.argv[1:])

輸出結果:

好了。我們更準確了，但看起來似乎有一些舍入。從n = 100和n = 1000，我們有相同的精度。現在怎麼辦？好吧，現在我們來求助於公式。到目前為止，我們計算Pi的方式是通過對幾部分加在一起。我從DAN 的關於Calculating Pi 的文章中發現一些代碼。他建議我們用以下3個公式：

Bailey–Borwein–Plouffe 公式
Bellard的公式
Chudnovsky 演算法

讓我們從Bailey–Borwein–Plouffe 公式開始。它看起來是這個樣子：

在代碼中我們可以這樣編寫它：

import sysimport mathfrom decimal import * def bbp(n):  pi=Decimal(0)  k=0  while k < n:    pi+=(Decimal(1)/(16**k))*((Decimal(4)/(8*k+1))-(Decimal(2)/(8*k+4))-(Decimal(1)/(8*k+5))-(Decimal(1)/(8*k+6)))    k+=1  return pi def main(argv):     if len(argv) !=2:    sys.exit('Usage: BaileyBorweinPlouffe.py  ')       getcontext().prec=(int(sys.argv[1]))  my_pi=bbp(int(sys.argv[2]))  accuracy=100*(Decimal(math.pi)-my_pi)/my_pi   print"Pi is approximately "+str(my_pi)  print"Accuracy with math.pi: "+str(accuracy)   if __name__=="__main__":  main(sys.argv[1:])

拋開“ 封裝”的代碼，BBP（N）的功能是你真正想要的。你給它越大的N和給 getcontext().prec 設定越大的值，你就會使計算越精確。讓我們看看一些代碼結果：

這有許多數字位。你可以看出，我們並沒有比以前更準確。所以我們需要前進到下一個公式，貝拉公式，希望能獲得更好的精度。它看起來像這樣：

我們將只改變我們的變換公式，其餘的代碼將保持不變。點擊這裡下載Python實現的貝拉公式。讓我們看一看bellards(n)：

def bellard(n):  pi=Decimal(0)  k=0  while k < n:    pi+=(Decimal(-1)**k/(1024**k))*( Decimal(256)/(10*k+1)+Decimal(1)/(10*k+9)-Decimal(64)/(10*k+3)-Decimal(32)/(4*k+1)-Decimal(4)/(10*k+5)-Decimal(4)/(10*k+7)-Decimal(1)/(4*k+3))    k+=1  pi=pi*1/(2**6)  return pi

哦，不，我們得到的是同樣的精度。好吧，讓我們試試第三個公式， Chudnovsky 演算法，它看起來是這個樣子：

再一次，讓我們看一下這個計算公式（假設我們有一個階乘公式）。 點擊這裡可下載用 python 實現的 Chudnovsky 公式。

下面是程式和輸出結果：

def chudnovsky(n):  pi=Decimal(0)  k=0  while k < n:    pi+=(Decimal(-1)**k)*(Decimal(factorial(6*k))/((factorial(k)**3)*(factorial(3*k)))*(13591409+545140134*k)/(640320**(3*k)))    k+=1  pi=pi*Decimal(10005).sqrt()/4270934400  pi=pi**(-1)  return pi

所以我們有了什麼結論？花哨的演算法不會使機器浮點世界達到更高標準。我真的很期待能有一個比我們用求和公式時所能得到的更好的精度。我猜那是過分的要求。如果你真的需要用PI，就只需使用math.pi變數了。然而，作為樂趣和測試你的電腦真的能有多快，你總是可以嘗試第一個計算出Pi的百萬位或者更多位是幾。

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