12個高矮不同的人,排成兩排,

作者:baihacker
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問題描述:
12個高矮不同的人,排成兩排,每排必須是從矮到高排列,而且第二排比對應的第一排的人高,問相片順序有多少種?
這個筆試題,很YD,因為把某個遞迴關係隱藏得很深.

問題分析:
我們先把這12個人從低到高排列,然後,選擇6個人排在第一排,那麼剩下的6個肯定是在第二排.
用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那麼含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.
比如000000111111就對應著
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就對應著
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
問題轉換為,這樣的滿足條件的01序列有多少個.
觀察1的出現,我們考慮這一個出現能不能放在第二排,顯然,在這個1之前出現的那些0,1對應的人
要麼是在這個1左邊,要麼是在這個1前面.而肯定要有一個0的,在這個1前面,統計在這個1之前的0和1的個數.
也就是要求,0的個數大於1的個數.
OK,問題已經解決.
如果把0看成入棧操作,1看成出棧操作,就是說給定6個元素,合法的入棧出棧序列有多少個.
這就是catalan數,這裡只是用於棧,等價地描述還有,二叉樹的枚舉,多邊形分成三角形的個數,圓括弧插入公式中的
方法數,其通項是c(2n, n)/(n+1).

在 < <電腦程式設計藝術>>,第三版,Donald E.Knuth著,蘇運霖譯,第一卷,508頁,給出了證明:
問題大意是用S表示入棧,X表示出棧,那麼合法的序列有多少個(S的個數為n)
顯然有c(2n, n)個含S,X各n個的序列,剩下的是計算不允許的序列數(它包含正確個數的S和X,但是違背其它條件).
在任何不允許的序列中,定出使得X的個數超過S的個數的第一個X的位置.然後在導致並包括這個X的部分序列中,以
S代替所有的X並以X代表所有的S.結果是一個有(n+1)個S和(n-1)個X的序列.反過來,對一垢一種類型的每個序列,我們都能
逆轉這個過程,而且找出導致它的前一種類型的不允許序列.例如XXSXSSSXXSSS必然來自SSXSXXXXXSSS.這個對應說明,不允許
的序列的個數是c(2n, n-1),因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1).[Comptes Rendus Acad.Sci.105(Paris, 1887), 436~437]

驗證:
其中F表示前排,B表示後排,在枚舉出前排的人之後,對應的就是後排的人了,然後再驗證是不是滿足後面的比前面對應的人高的要求.

C/C++ code

#include <iostream>using namespace std;int bit_cnt(int n){    int result = 0;    for (; n; n &= n-1, ++result);    return result;}int main(){    int F[6], B[6];    int ans = 0;    for (int state = 0; state < (1 << 12); ++state) if (bit_cnt(state) == 6)    {        int i = 0, j = 0;        for (int k = 0; k < 12; ++k) if (state&(1<<k)) F[i++] = k; else B[j++] = k;        int ok = 1;        for (int k = 0; k < 6; ++k) if (B[k] < F[k]) {ok = 0; break;}        ans += ok;    }    cout << ans << endl;    return 0;}

結果:132
而c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) = 132
注意:c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

估計出題的人也讀過 < <電腦程式藝術>>吧.

PS:
另一個很YD的問題:
有編號為1到n(n可以很大,不妨在這裡假定可以達到10億)的若干個格子,從左至右排列.
在某些格子中有一個棋子,不妨設第xi格有棋子(1 <=i <=k, 1 <=k <=n)
每次一個人可以把一個棋子往左移若干步,
但是不能跨越其它棋子,也要保證每個格子至多隻有一個棋子.
兩個人輪流移動,移動不了的為輸,問先手是不是有必勝策略.