論文學習-Euclidean Distance Matrices-theory,algorithms,applications（1）

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翻譯自Euclidean Distance Matrices: Essential theory, algorithms, and applications

EDMs是點之間的平均距離矩陣。該文的目標是介紹EMD在訊號處理領域的應用，展示EDM如何被用來設計演算法--對距離資料進行修複和去噪。同時，介紹了其在麥克風的位置校準（microphone position calibration）、超聲波斷層掃描(ultrosound tomography)、room reconstruction from echoes以及相位恢複的應用。

引言

假設你有一份瑞士火車時刻表但是沒有其地圖，但是這足夠去重建一份阿爾卑斯的粗略的地圖，即便火車時間不能體現距離甚至部分時間點是不知道的。

我們經常處理距離資料因為它們是容易測量和評估的。比如說，在無線感應器網路，感應器節點可以測量由其它節點傳送過來的訊號包的強度或由它們的鄰節點發送的脈衝到達時間(TOA)，這屬於自我定位(self-localization)。

有時候資料不是矩陣的，但是我們可以像心理測驗學一樣尋找一個矩陣表示。實際上，心理測驗學是很多跟EDM有關的方法形成的起源，包括多維標度分析(MDS)--用多維空間中的點表示不同刺激物之間的感知或心理測量關係（百度）。

EDM是對點集的一個有用的描述和演算法設計的好起點。一個經典的任務就是恢複原始點設定：它僅僅需要對一個對稱矩陣進行特徵值分解(EVD)。事實上，大部分歐幾裡德距離問題重建點集伴隨著以下問題：

1）距離資料有雜訊

2）一些距離資料缺失

3）距離無法識別(unlabelled)

距離幾何有兩個基本問題：一是給定一個矩陣，判斷它是否是EDM；二是給定一些不完整的距離資料，在已知嵌入維數下--形成點的最小仿射空間的維度--判斷是否存在一種點配置(configuration of points)

FroM PoIntS to EdMs And BAcK

X為d*n矩陣，

xi和xj之間的平均距離為，並定義

||.||表示歐幾裡德範數，即

  

1表示n*1的列向量，即[1 1 1...1 ]的轉置，1的轉置即1*n的行向量；edm(X)實際就是

類似地，令 ，則

公式3和4揭示了一個重要的屬性：X的秩最多為d，的秩也最多為d，公式3的另外兩個加數秩為1，由此可得：一個EDM的秩最多為d+2 （T1）

這個定理說明EDM的秩和其點的數目無關，在許多應用中，d是3或者更少然而n可以是上千。根據定理1，這樣的矩陣秩最多為5。定理1中最重要的是點集的仿射維數。任何仿射子空間都是一個線性子空間的轉變，即重要的唯一性（essential uniqueness）。如所示，從一個仿射子空間的所有點中取出任意一點可唯一地描述一個包含零向量的平行線性子空間。

ESSENTIAL UNIQUENESS
當處理一個逆問題時（inverse problem），我們需要明白哪些是可重獲的哪些是已丟失的。重建點配置通常會增加其規模(size)，成對距離的數量遠比座標描述的規模大，即。很明顯剛性變換不改變固定點的距離，就像我們從公式3和4中得知的：edm(X)=,故用代數方法（翻轉、反射）不會改變距離。因此對於旋轉點集（Q為d*d的正交矩陣，即）：

通過d*1的列向量b得到平移矩陣

因此

這說明我們無法只通過距離資料得到點的具體位置，不同的重建步驟會得到不同的點配置，如所示：

RECONSTRUCTION THE POINT SET FROM DISTANCE
公式3給了我們一種從距離矩陣中計算點配置的方法。

假設點x1是原點，D的第一列包含了點向量的平方範數，d1是D的第一列，即

由於的對角線元素恰好是,則

由於G是對稱半正定矩陣（PSD），，其中

所以，即為重建點配置，。

於是，我們有定理2：若且唯若對任何滿足條件的s     

是一個PSD時，D是一個EDM。

很容易得知，s=e1。平移點集使得x1被平移到原點，通過對edm(x)左乘矩陣右乘矩陣，我們將最終得到，重建點配置將在原點有第一個點(have the first point at the origin)。

另一方面，s=(1/n)1時，座標系的原點將是點集的質心，因此矩陣被稱為幾何中心矩陣

為說明這一點，我們定義X的質心為所有點集的平均值

然後從點集中減去這一向量，即

 

 

 

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