每日演算法之三十九：Pow(x, n)

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實現浮點類型的冪運算，函數原型為:

double pow(double x, int n)

在求解這個問題的時候是一個很掙紮的過程，因為它不是報錯而是一直提示你超出時間，那麼必須一次次的考慮怎樣降低時間複雜度。

首先最直接的思路是下面這樣的，就跟直觀的數學求解一樣。

double pow(double x, int n){if(n==0)return 1.0;if(n<0)return 1.0/pow(x,-n);return x*pow(x,n-1);}

但是會提示你超出時間，這是可以理解的，因為時間複雜度是O(n)。對於較大的n這是不可接受的。

其次，考慮到n個x相乘式子的對稱關係，可以對上述方法進行改進，從而得到一種時間複雜度為O(logn)的方法，遞迴關係可以表示為pow(x,n) = pow(x,n/2)*pow(x,n-n/2)。

double pow(double x, int n){if(n==0)return 1.0;if(n<0)return 1.0/pow(x,-n);double half = pow(x,n>>1);if(n%2==0)return half*half;elsereturn half*half*x;}

這樣時間複雜度降低了一個數量級，但是仍然會逾時。

最後，網上搜答案查到下面的解決方案，這根編程之美中求1的個數很類似。只不過加了一步數學冪轉化為乘法，即指數相加的過程。

描述如下：

Consider the binary representation of n. For example, if it is "10001011", then x^n = x^(1+2+8+128) = x^1 * x^2 * x^8 * x^128. Thus, we don‘t want to loop n times to calculate x^n. To speed up, we loop through each bit, if the i-th bit is 1, then we add x^(1 << i) to the result. Since (1 << i) is a power of 2, x^(1<<(i+1)) = square(x^(1<<i)). The loop executes for a maximum of log(n) times.

該方法通過掃描n的二進位表示形式裡不同位置上的1，來計算x的冪次。

double my_pow(double x, int n){if(n==0)        return 1.0;if(n<0)return 1.0 / pow(x,-n);double ans = 1.0 ;for(; n>0; x *= x, n>>=1){if(n&1>0)ans *= x;}return ans;}

這裡有一個問題就是當n等於INT_MIN時，求絕對值之後會超出整數範圍，因為負數是比正數多一個的。在這裡作為一個邊界添加考慮即可。

if(n<0)          {              if(n==INT_MIN)                  return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x);              else                  return 1.0 / pow(x,-n);          }