世界盃座位選擇順序總數

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1. 問題

假設世界盃觀看台上有n個座位，遊客們來到這裡自由佔位。一般情況下，一個遊客首先考慮的座位肯定是兩邊都沒人的座位，其次考慮的是一邊沒人的座位，最後沒得考慮，只能隨便選一張兩邊都是人的座位。 假設有n個遊客依次到場佔位，每個人都是按照上述規則選擇自己的位子，求這n個遊客佔位的可能順序有多少種？

輸入描述： 有多組測試資料，每組測試資料包括一個正整數n(0<n<1000000)。

輸出描述：對於每組資料，由於答案可能會很大，所以輸出：答案%1000000007

2. 分析

需要注意的是：觀眾來的順序是固定的，場地是環形的。

分析：第一批（前幾位）觀眾肯定選擇兩邊沒有人的位置，第二批（接下來）的觀眾肯定選擇一邊沒有人的，第三批（最後）只能選擇兩邊都有人的座位。因此我們可以按批次安排這n個人，即先安排第一批，再安排第二批，最後安排第三批。

定義：當座位為{有人、無人、無人、有人}時，稱這四個座位為TB模組。每個TB模組間隔2個空座位。n為座位元，tb為TB模組個數，interval為間隔個數。

第一批：第一批觀眾入座之後需保證剩下的所有空座位至少一邊有人。

第二批：安排只有一邊沒有人的座位。易得這樣座位的個數與TB模組個數m的兩倍相同，則共有2m*m!種順序。

第三批：安排兩邊均有人的c個座位。顯然共有c!種順序。

我們按照TB模組的個數分情況討論，則對於每種情況共有：pi=(n*Cintervaltb*(interval-1)!)*(2tb*tb!)*((n-interval-tb)!)種情況順序。其中(n*Cintervaltb*(interval-1)!)為第一批，(2tb*tb!)為第二批，((n-interval-tb)!)為第三批。對於第一批來說共有interval個間隔，其中tb個TB模組，因此共有Cintervaltb種座位間隔安排方式，第一個人已經選定位置，因此其他(interval-1)個人共有(interval-1)！種順序，因此第一批共有n*Cintervaltb*(interval-1)!種順序。對於第二批共有tb個TB模組，則共有2tb種安排順序，tb個人共有tb!個順序，因此共有2tb*tb!種順序。剩餘的第三批共有n-interval-tb個座位，因此共有(n-interval-tb)!種順序。

所有情況順序數之和即為最終結果。易得當n為奇數時，tb最小值為1；反之，tb最小值為0。

例1：假設有8個座位，

(1) 情況一：不存在TB模組。第一個人共有8種選擇，當第一個人選定後，其它3個座位也固定下來（如：第一個人選擇位置1，則另外三個座位肯定是3, 5, 7），而接下來的這三個人可以有3！種順序。因此，可得第一批人第一種情況共8*C40*3！種順序。不存在TB模組即不存在第二批安排。最後需要安排的第三批座位元為4，共有4！種順序。由上可得情況一共有p1=8*3!*4!種順序。

(2) 情況二：存在2個TB模組。簡單分析可得不存在一個TB模組的情況。此時間隔數為(8-3*2)/2+2=3個，即一個間隔為1，2個間隔為2。當第一個人固定後，間隔共有C32種分配方案，則該種情況共有8*C32*2!種情況。易得安排第二批人共有22*2！種順序，第三批人共有3！種順序。則情況二共有p2=(8*C32*2!)*(22*2!)*(3!)種順序。

(3) 情況三：存在4個TB模組。顯然對於8不可能，因此第一批人分情況處理完成。

綜上，當座位元為8時共有p1+p2種順序。

注意：上述中每種情況均增加兩個TB模組，直到達到TB模組的上界，則運行終止。

例2：假設有9個座位，

情況一：存在1個TB模組。間隔個數為(9-3*1)/2+1=4個，即3個間隔座位元為1，1個間隔座位元2。當第一個人選定後間隔共有C41種分配方案，則該種共有9*C41*3!種順序。顯然安排第二批人共有21*1！種情況，第三批人共有4！種順序。則情況一共有p3=(9*C41*3!)*(21*1！)*(4!)種順序。

情況二：存在3個TB模組。間隔個數為(9-3*3)/2+3=3個，即0個間隔座位為1，3個間隔座位元為2。當第一個人選定後間隔共有C33種分配方案，則第一批共有9*C33*2!中順序。易得，第二批人共有23*3！種順序，第三批人共有3！種順序。則情況二共有p4=(9*C33*2!)*(23*3！)*(3!)種順序。

情況三：顯然不存在5個TB模組。運行終止。

綜上，當座位元為9時共有p=p3+p4種順序。

由例1與例2可得，當座位元為奇數與偶數時，情況不同。相同的是每種情況遞增2個TB模組。

3. 實現

n為座位元，tb為TB模組個數，interval為間隔個數，num為所有觀眾的順序，則對於每一種情況均有pi=(n*Cintervaltb*(interval-1)!)*(2tb*tb!)*((n-interval-tb)!)。

虛擬碼：

input: n

output: num

num = 0;

if n is odd

     tb = 1;

else

    tb = 0;

interval = (n-3*tb)/2 + tb;

while n ≥ 3*tb

       p=(n*Cintervaltb*(interval-1)!)*(2tb*tb!)*((n-interval-tb)!);

       num += p;

       tb += 2;

      interval--;

 return num;

4. 遺留問題

當只需保留餘數時，階乘的餘數可以在每次相乘之前取餘，即(a*b)%c =((a%c)*(b%c))%c。但Cmn%c如何求解？坐等高人指點迷津……