[譯] – 投影矩陣的推導

[譯] - 投影矩陣的推導

原帖地址：

http://www.codeguru.com/cpp/misc/misc/math/article.php/c10123__1/Deriving-Projection-Matrices.htm

譯文：

矩陣變換作為3d圖形程式員的基本知識，投影矩陣是其中很複雜的內容。平移和縮放是容易理解的，旋轉矩陣只需要掌握了基本的三角幾何知識，但是投影矩陣不一樣。如果你看過投影矩陣的形式，你會發現你很難很快知道它是怎麼來的。而且，我在網上沒有發現很多有關推導投影矩陣的資源。本文就是講述如何推導投影矩陣。

對於新接觸3d圖形學的人來說，推導投影矩陣需要有一定的數學基礎，但不是必須的。你可以直接使用最後的公式，如果你使用一種圖形API，如Direct3D，通常你不需要關心，因為API已經提供了計算投影矩陣的功能。一旦你理解了如何推導它，這對你沒有壞處。這篇文章為了那些需要瞭解推導投影矩陣細節的人的。

簡介：什麼是投影

電腦顯示器是一個2d表面，為了顯示3d物體，你需要把3d的物體轉化成2d的圖片，這個過程就是投影。舉一個簡單例子，最簡單的把3d物體變到2d表面上的方法是去掉z座標。對於1個立方體，如1。

 

圖1：去掉z座標投影到xy平面

當然，圖1方法很簡單，大多數情況不適用。這裡不會投影到一個平面上，相反，這裡講的投影會把物體變換到一個規範的是視空間(canonical view volume這個是叫什嗎？)。對於規範的視空間的座標，不同圖形API可能不同。作為討論起見，這裡使用Direct3D的，即(-1, -1, 0)到(1, 1, 1)。一旦物體的座標轉換到了規範的視空間裡面，其中的x、y座標就用於映射到螢幕空間，z座標一般用於z-buffer。

注意圖1使用了左手座標系。這也是Direct3D的形式，本文將一直使用左手座標系。對於右手座標系，本文講述的知識都是適用的。

現在可以開始講投影變換了。這裡主要講述2中最普遍的形式：正投影和透視投影。

正投影

正投影是一種簡單的投影形式，要求所有的投影射線垂直於投影面。正投影最終的規範視空間是一個AAB(axis-aligned box)，如2。

 

圖2:正投影

可以看出，規範的視空間是由6個面組成的：

左：x = l

右：x = r

下：y = b

上：y = t

近：z = n

遠：z = f

由於正投影的視錐(view volume)和規範視空間(canonical view volume)都是AAB，所以不會有像透視投影那樣隨距離變化的特性。對於正投影，所有的物體的大小不會變化，而且不會隨著距離變化。

下面開始推導正投影矩陣。一個在view volume中的點的x座標在[l, r]，這需要變換到canonical view volume中的[-1, 1]。

l <= x <= r

0 <= x-l <= r-l

0 <= (x-l)/(r-l) <= 1

0 <= 2(x-l)/(r-l) <= 2

-1 <= 2(x-l)/(r-l) - 1 <= 1

-1 <= (2x-r-l)/(r-l) <= 1

最後你需要得到px+q的形式，所以分解成:

-1 <= 2x/(r-l) - (r+l)/(r-l) <= 1

所以得到了在canonical view volume中的x座標：

x' = 2x/(r-l) - (r+l)/(r-l)

同理得到在canonical view volume中的y座標：

y' = 2y/(t-b) - (t+b)/(t-b)

最後來推導z'的公式。在view volume中的點的z座標在[n, f]，需要變換到canonical view volume中的[0, 1]。

n <= z <= f

0 <= z-n <= f-n

0 <= (z-n)/(f-n) <= 1

0 <= z/(f-n) - n/(f-n) <= 1

得到z'的運算式:

z' = z/(f-n) - n/(f-n)

總結上面的x', y'和z'，

x' = 2x/(r-l) - (r+l)/(r-l)

y' = 2y/(t-b) - (t+b)/(t-b)

z' = z/(f-n) - n/(f-n)

如果寫成矩陣形式：

 

在Direct3D中一個函數D3DXMatrixOrthoOffCenterLH()正好提供了這個功能(注意到形式有些不同，是行/類矩陣的區別)。“LH”表示的是左手座標系，但是“OffCenter”表示的又是什麼呢？

第一，在Camera空間，如果Camera被放置在原點，並且方向沿著z軸；第二，如果r = -l，t = -b，並且定義x軸上的寬度w和y軸上的高度h，那麼

 

上面的矩陣和Direct3D中的D3DXMatrixOrthoLH()計算的結果一致。

如果把正投影的矩陣分解成如下：

 

注意變換形式是：p'(canonical view volume) = P0 * P(view volume)。

通過這個分解，可以這樣來理解正投影矩陣，首先，吧view volume沿z軸把近平面移到原點，其次，縮放使得view volume變換到canonical view volume。

透視投影

透視投影因為可以產生距離的錯覺(遠方的物體看起來更小),所以可以產生更真實的效果，被廣泛使用。它和正投影不同的地方是，透視投影的view volume是一個錐體，如4：

 

圖4：透視投影

可以看出view frustum的近平面由(l, b, n)延伸到(r, t, n)。

步驟一：對於view frustum中的一個點(x, y, z)，把它投影到近平面z = n。因為 投影點在近平面上，所以x座標的範圍在[l, r]，y座標的範圍在[b, t]。如 圖5

步驟二：使用在正投影中學習的知識，把在近平面上x的[l, r]隱射到[-1, 1]，y的[b,  t]隱射到[-1, 1]。

 

圖5

第一步：得到投影點

 

 

所以得到投影點(x*n/z, y*n/z, n)。

第二步：把第一步中得到的投影點，運用正投影中學習的知識隱射。

 

代入x = x*n/z 和 y = y*n/z，

 

乘以z，

 

把(x, y, z)隱射到(x'z, y'z, z'z)，所以需要求z'z

假設z'z = pz + q，而z座標的隱射是[n, f]到[0, 1],所以得到：

0 = pn + q

f = pf + q

解方程得：

p = f/(f-n)

q = -fn/(f - n)

所以，

z'z = fz/(f-n) - fn/(f-n)

總結在一起，

 

寫成矩陣形式：

 

上面的矩陣可以使得，p * (x, y, z, 1) = (x'z, y'z, z'z, z)。這個也是和Direct3D中的D3DXMatrixPerspectiveOffCenterLH()是一樣的(注意行/列區別)。同正投影中，如果滿足一定的條件，r = -l，t = -b，則有下面的矩陣形式:

 

這個就和Direct3D中的D3DXMatrixPerspectiveLH()結果一樣。

最後，有必要說一下牽扯到寬高比的矩陣表示形式。

6：

 

圖6

cot(a/2) = n / (h/2) = 2n/h

假設r = w/h，即寬高比

2n/w = 2n/(rh) = (1/r) * cot(a/2)

則有以下形式：

 

這個形式就和Direct3D中的D3DXMatrixPerspectiveFovLH()結果一樣。

註：

本文原本準備翻譯，後來沒耐心了，話說最近我做事一直都沒什麼耐心了，所以沒怎麼按照原文翻譯，而是把重要的列出來。

上面說的一些推導公式有些不用那麼繁瑣，但是總的來看，很值得一讀。

 

本文來自CSDN部落格，轉載請標明出處：http://blog.csdn.net/G_cofa/archive/2010/10/08/5926092.aspx