樹狀數組

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樹狀數組

　　樹狀數組的修改和求和都是O(logn)，效率非常高。

　　樹狀數組——lowbit(x)例如21二進位是10101，1所在的位置是0，2，4，可以分解成2^4 + 2 ^ 2 + ^ 0。進一步的[1,x]可以分解成O(logx)個小區間：

　　1.長度為2^4的小區間[1,2^4]

　　2.長度為2^2的小區間[2^4 + 1,2^4+2^2]

　　3.長度為2^0的小區間[2^4+2^2+1,2^4+2^2+2^0]

　　樹狀數組

　　C[1] = A[1];

　　C[2] = A[1] + A[2];

　　C[3] = A[3];

　　C[4] = A[1] + A[2]+A[3] + A[4];

　　C[5] = A[5];

　　C[6] = A[6] + A[5];

　　C[7] = A[7];

　　C[8]=A[1] + A[2]+A[3] + A[4]+A[5] + A[6]+A[7] + A[8]

　　樹狀數組滿足以下性質：

　　1.每個內部結點C[x]儲存以它為根的子樹所有分葉節點。

　　2.每個內部結點C[x]的子結點個數等於lowbit(x)的大小。

　　3.除樹根外，每個內部結點c[x]的父結點是c[x + lowbit(x)]

　　4.樹的深度為O(logn)。

　　一、求lowbit(n)

　　lowbit(n)就是非負整數n在二進位表示下最低位的1以及它後邊的0構成的數值。

　　{補碼錶達式~n = -1-n }因此lowbit(n) = n&(~n+1) = n&(-n)。

1 int lowbit(n)2 {3     return n&(-n);4 }

 

　　二、對某個元素進行加法操作

　　任意一個結點的祖先至多隻有logN個，我們逐一對他們的數組C值進行更新即可。下面的代碼在O(logN)時間內執行單點增加操作。

1 void update(int x,int y)2 {3     for(i = 1;i <= N;x += x & (-x))4     {5         c[x] = c[x] + y;6     }7 }

　　三、查詢首碼和

　　如本篇開頭所寫，分成O（logn)個數組，每個數組的區間和都已儲存在數組C中，下面的代碼在O(logn)的時間內查詢首碼和。

 

 1 int sum(int x) 2 { 3     int ans = 0; 4     while(x > 0) 5     { 6         ans = ans + c[x]; 7         x = x - (x & (-x)); 8         return ans; 9     }10 }

 

　　四、統計A[x]……A[y]的值。

　　調用以上的sum的操作：sum(y) - sum(x - 1)

　　五、擴充（多維樹狀數組）

　　複雜度變成O(logn)^m

　　有一個N*M的二維數組，樹狀數組是c,那麼單點修改操作為：

 1 int update(int x,int y,int z)//將(x,y)的值加上z  2 { 3     int i= x; 4     while(i <= n) 5     { 6         int j = y; 7         while(j <= m) 8         { 9             c[i][j] += z;10             j += lowbit(j); 11          } 12          i += lowbit(i);13      } 14 }

 

 1 int sum(int x,int y) 2 { 3     int res = 0,i = x; 4     while(i > 0) 5     { 6         int j = y; 7         while(j > 0) 8         { 9             res = res + c[i][j];10             j -= lowbit(j);11         }12         i -= lowbit(i);13     }14     return res;15 }

　　六、注意事項

　　樹狀數組的下標不能是0，否則lowbit(0) = 0 ,會陷入死迴圈中。

 

 

 

 

 

 

樹狀數組