UVA 10334 Ray Through Glasses

UVA_10334

    這個題目多列幾項就可以猜出來是fibonacci數列。

    如果要證明的話，我們不妨來看下折射次數為n的光線是怎麼構成的，實際上它們都是在折射次數為n-1的最終的射出光線與3條橫線的交點位置反向畫一條射出光線形成的。

    因此，我們可以得知折射次數為n-1的所有光路中的最終的射出光線與橫線的交點的數量就是折射次數為n的光路的總數。

    按交點的性質可以分成兩類，我們不妨以x表示射出光線與中間那條橫線形成的交點數，以y表示射出光線與兩邊橫線形成的交點數。我們不難發現，對於在每一個x類交點處畫反向射出光線時可以形成一個y類交點，對於在每一個y類交點處畫反向射出光線時可以同時形成一個x類的交點和一個y類的交點。那麼對於折射次數為n時，我們不難寫出x類交點和y類交點數量的遞推公式，x(n)=y(n-1)，y(n)=x(n-1)+y(n-1)，我們把兩式相加，可以得到x(n)+y(n)=x(n-1)+y(n-1)+y(n-1)=x(n-1)+y(n-1)+x(n-2)+y(n-2)，令f(n)=x(n)+y(n)，就可以得到f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

    前面也已經解釋了射出光線與橫線交點的數量和光路數之間的關係，既然射出光線與橫線交點的數量是斐波那契數，那麼光路數也自然是斐波那契數。

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        BigInteger[] f = new BigInteger[1010];
        f[0] = new BigInteger("1");
        f[1] = new BigInteger("2");
for(int i = 2; i <= 1000; i ++)
            f[i] = f[i - 1].add(f[i - 2]);
while(cin.hasNext())
        {
int N = cin.nextInt();
            System.out.println(f[N]);
        }
    }
}