KMP演算法的理解

標籤：

　　這麼有名的串模式比對演算法，在此不作詳細介紹了。如果有不瞭解的請看參考文獻的兩篇文章。

　　這裡，我只準備介紹一下該演算法核心next數組的含義（怎麼求，相關部落格也很詳細）。很多文章介紹next數組的時候，一上來會介紹字串首碼和尾碼的概念，我這裡也提一下。給定一個字串T[0...n]，其首碼有：T[0], T[0,1], ..., T[0...n-1]，其尾碼有：T[1], T[1,2], ..., T[1...n]。

　　既然是串匹配，則必然會有目標串和模式串，當然目標串的長度要比模式串大。這些基礎知識在此不再贅述。

　　傳統暴力匹配演算法（所有介紹KMP演算法都會介紹，我在此不做闡述），一旦模式串和目標串發生失配時，模式串將回退至起始位置，目標串將回退至該輪比較起始位置的下一個位置（有點繞哈）。KMP演算法解決的問題是，失配發生時，確保目標串不發生回退，僅改變模式串的位置（有的文章也稱為滑動模式串）。

　　設：目標串為S[0]S[1]...S[m]，模式串為T[0]T[1]...T[n]，m＞n，現在處於如下匹配狀態：

　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓

　　目標串：s[0]...s[i-j]...s[i-1]s[i]...s[m]

　　模式串:　　　　T[0]...T[j-1]T[j]...T[n]

　　　　　　　　　　　　　　　　↑

　　即：目標串S[i]和模式串T[j]發生了失配，現在怎麼才能保持上面那個箭頭，也就是i不變呢？換句話說，S[i]下一次該與T[?]比較呢？我們做如下分析：

　　要想模式串向前滑動一個位置，也就是S[i]與T[j-1]比較，我們要保證什嗎？我們必須要確保：

　　　　　　　　T[0]T[1]...T[j-2] == T[1]T[2]...T[j-1]　　　　　　(1)，

　　若(1)做不到，則必然會導致S[i]與T[j-1]之前就發生失配了。為什嗎？因為根據之前匹配，我們有：

　　　　　　　　S[i-j]==T[0], S[i-j+1]==T[1], ... ,S[i-1]==T[j-1]　　(2)

　　模式串向前滑動一步，我們必須要保證：S[i-j+1]==T[0], S[i-j+2]==T[1], ... ,S[i-1]==T[j-2]，才能將匹配進行到S[i]與T[j-1]，綜合上述，我們必須確保(1)式成立，否則滑動沒意義；

　　同樣的，要模式串向前滑動兩部，類似的，我們必須保證：T[0]T[1]...T[j-3] == T[2]T[3]...T[j-1]。——上述分析的這些，不都是T[0]T[1]...T[j]首碼和尾碼嗎？！

　　因此，根據上面分析，我們不難得出下述結論：要確保目標串中指標不變，那麼下一個匹配的位置就是最大公用首碼的下一個元素。因為大多數語言數組索引以0開始，所以下一個位置就是最大公用首碼的長度了，對不對？於是，我們得到：

　　失配發生時，有：下一個匹配位置 = k, T[0]T[1]...T[k-1] == T[j-k]T[j-k+1]...T[j-1] ，這個值定義為next[j]，即

　　　　　　　　　　　　　　　　next[j]=k　　(3)

　　那next[0]是什麼呢？它沒有首碼啊，這裡我們將其定義為next[0]=-1，為什麼這麼定義，我想可能是特殊處理吧！如果沒有公用前尾碼，此時next[j] = 0，這也是符合(3)式定義的。

　　另外還有一種情況我們沒有討論，就是參考文獻[2]的最佳化部分：(3)式的得出沒有考慮T[k] != T[j]這種情況，如果出現這一情況，則可以進一步最佳化，有next[j] = next[k]，這樣就進一步減少了比較。

　　綜合上述，我們有next數組運算式如下：

　　next[j] = {　-1, j == 0;

　　　　　　　{　k, T[0]T[1]...T[k-1] == T[j-k]T[j-k+1]...T[j-1], T[k] == T[j]

　　　　　　  {   next[k],　　T[0]T[1]...T[k-1] == T[j-k]T[j-k+1]...T[j-1], T[k] != T[j]

　　　　　　 {　0,　　others.

　　關於next數組解釋至此為止，上述為個人學習總結，如有問題，請留言。時間緊張，故寫的比較簡單。

 

附：參考文獻：

[1]從頭到尾徹底理解KMP：http://blog.csdn.net/tukangzheng/article/details/38438481

[2]KMP串匹配演算法解析與最佳化：http://www.cnblogs.com/tr0217/p/4735279.html

　　

KMP演算法的理解