【Unity】貝茲路徑關於點、長度、切線計算在 Unity中的C#實現

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原文:【Unity】貝茲路徑關於點、長度、切線計算在 Unity中的C#實現

寫在前面

最近給項目做了個路徑編輯，基本思路是滿足幾個基本需求：
【額外說明】其實本篇和這個沒關係，可以跳過“寫在前面”這部分，跨到本文部分

編輯時：
① 隨意增減、插入、刪除路點，只要路點數量大於1，繪製曲線，曲線必定經過路點。
② 調整路點的Forward方向，控制曲線的入線切線方向、出線切線方向。這樣可以通過旋轉直接調整曲線形狀。
③ 控制Forward方向的基礎上，增添描述切線“強度”的變數，來進一步控制曲線的形狀。
④ 可以指定每段曲線的邏輯長度，程式提供一個曲線近似長度協助確定邏輯長度。
⑤ 匯出曲線的資料。

運行時，可以根絕資料：
⑥ 對路點進行從0開始的編號，使用0.01~0.99來描述在某段曲線上的位置（邏輯上的），然後轉化成為實際的座標。
⑦ 可以獲得在曲線上任意一點的切線方向。

本文

從路點、路點forward到三階貝茲路徑的四個點

關於貝茲路徑，可見下文
貝茲路徑
貝茲路徑線上示範

每兩個路點作為三階貝茲路徑的起點（第0個點P0）和終點（第3個點P3）。

起點路點的Forward方向乘以“強度”的變數，再加上起點座標，作為第1個點P1。
起點路點的Forward反方向乘以“強度”的變數，再加上起點座標，作為第2個點P2。

得到 p0~p4這四個點之後，即可使用三階貝茲路徑的相關公式了

繪製貝茲路徑，圖中紅色線條部分

三階貝茲路徑線上某點座標（Unity & C#）

三階貝茲路徑公式（來自百度百科）

形參中的 t, p0, p1, p2, p3 分別對應公式中的 t 以及 p0~p3

    public Vector3 BezierPoint(float t, Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3)    {        float u = 1 - t;        float tt = t * t;        float uu = u * u;        float uuu = uu * u;        float ttt = tt * t;        Vector3 p = uuu * p0;        p += 3 * uu * t * p1;        p += 3 * u * tt * p2;        p += ttt * p3;        return p;    }

三階貝茲路徑的近似長度（Unity & C#）

計算長度的思路：
在貝茲路徑上取n個點，計算點之間的直線長度，進行加和，從而取得一個曲線的近似長度。取點越多這個長度越趨向於精確。

形參中的p0, p1, p2, p3 分別對應公式中的 p0~p3。pointCount代表取點個數，預設30。

    public float BezierLength(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, int pointCount = 30)    {        if (pointCount < 2)        {            return 0;        }        //取點 預設 30個        float length = 0.0f;        Vector3 lastPoint = BezierPoint(0.0f / (float)pointCount, p0, p1, p2, p3);        for (int i = 1; i <= pointCount; i++)        {            Vector3 point = BezierPoint((float)i/(float)pointCount, p0, p1, p2, p3);            length += Vector3.Distance(point, lastPoint);            lastPoint = point;        }        return length;    }

三階貝茲路徑線上某點的切線（Unity & C#）

在已知貝茲路徑運算式的情況下，想要知道某點的切線，對曲線求導。
可得：

整理後可得

整體公式構成只有p0~p3 以及 t 和 (1-t)，為了運算式更直接，不進行進一步的整理。
所以得到下面的代碼

形參中的 t, p0, p1, p2, p3 分別對應公式中的 t 以及 p0~p3

    public Vector3 BezierTangent(float t, Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3)    {        float u = 1 - t;        float uu = u * u;        float tu = t * u;        float tt = t * t;        Vector3 P = p0 * 3 * uu * (-1.0f);        P += p1 * 3 * (uu - 2 * tu);        P += p2 * 3 * (2 * tu - tt);        P += p3 * 3 * tt;                //返回單位向量        return P.normalized;    }

寫在後面

主要參照：
Unity遊戲中使用貝茲路徑
求二次、三次貝茲路徑的某個時間的位置及切線方向

轉載請註明，出自喵喵丸的部落格 （http://blog.csdn.net/u011643833/article/details/78540554）

【Unity】貝茲路徑關於點、長度、切線計算在 Unity中的C#實現