KM演算法求完全符合情況下的最大匹配

  演算法說明：1，一定存在完全符合

                      2，求最大（小）權匹配，也就是各種匹配情況下需要的消耗最小或者收益最大

演算法前首先說明什麼是交錯樹：每次增加一條增廣路或者增加失敗時匈牙利演算法所遍曆過的點都是交錯樹中的節點，如果說二分圖（一邊是x頂點，另一邊全是y頂點）中以x頂點匹配y頂點時，那麼交錯樹中的所有葉子節點都是x頂點。（歡迎各位理解得更清楚的同學指導）

 演算法說明：該演算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。設頂點Xi的頂標為A[ i ]，頂點Yj的頂標為B[ j ]，頂點Xi與Yj之間的邊權為w[i,j]。在演算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始終成立。

　　KM演算法的正確性基於以下定理：

　　若由二分圖中所有滿足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的邊(i,j)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那麼這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。

　　首先解釋下什麼是完備匹配，所謂的完備匹配就是在二部圖中，X點集中的所有點都有對應的匹配或者是

　　Y點集中所有的點都有對應的匹配，則稱該匹配為完備匹配。

　　這個定理是顯然的。因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖，那麼它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那麼它的邊權和小於所有頂點的頂標和。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。

　　初始時為了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]為所有與頂點Xi關聯的邊的最大權，B[j]=0。如果當前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。

　　我們求當前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對於某個X頂點，我們找不到一條從它出發的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結點全部是X頂點。現在我們把交錯樹中X頂點的頂標全都減小某個值d，Y頂點的頂標全都增加同一個值d，那麼我們會發現：

　　1）兩端都在交錯樹中的邊(i,j)，A[ i ]+B[j]的值沒有變化。也就是說，它原來屬於相等子圖，現在仍屬於相等子圖。

　　2）兩端都不在交錯樹中的邊(i,j)，A[ i ]和B[j]都沒有變化。也就是說，它原來屬於（或不屬於）相等子圖，現在仍屬於（或不屬於）相等子圖。

　　3）X端不在交錯樹中，Y端在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原來不屬於相等子圖，現在仍不屬於相等子圖。

　　4）X端在交錯樹中，Y端不在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所減小。也就說，它原來不屬於相等子圖，現在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。

　　現在的問題就是求d值了。為了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始終成立，且至少有一條邊進入相等子圖，d應該等於：

　　Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交錯樹中，Yi不在交錯樹中}。

 

推薦

poj 2195 ：http://poj.org/problem?id=2195

My Code：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int row,col;//提供圖的行和列
char str[201][201];//存圖
int dis[201][201];//存各人和房子的距離
int men[201][2],house[201][2],hnum,mnum;//每個人，每個房子的座標
int line[201],usedy[201],usedx[201],point[201][2];//line求得的匹配 usedx存交錯樹中x頂點，usedy存交錯樹中y頂點，point二維，第一維存x（即人）頂點頂標，第二維存一（即房子）頂點頂標
int find(int x)
{
 usedx[x]=1;
 for(int i=1;i<=hnum;i++)
  if(!usedy[i]&&point[x][0]+point[i][1]-dis[x][i]==0)//標記：可以最佳化
  {
   usedy[i]=1;
   if(!line[i]||find(line[i]))
   {
    line[i]=x;
    return 1;
   }
  }
  return 0;
}
int count()
{
 int res=0;
 for(int i=1;i<=mnum;i++)
  res+=point[i][0]+point[i][1];
 return res;
}
int km()//KM演算法求完全符合情況下的最大匹配
{
 int i,j,max;
 for(i=1;i<=mnum;i++)
 {
  max=0x8fffffff;
  for(j=1;j<=hnum;j++)
  {
   if(dis[i][j]>max)
   {
    max=dis[i][j];
   }
  }
  point[i][0]=max;
  point[i][1]=0;
 }
 memset(line,0,sizeof(line));
 for(i=1;i<=mnum;i++)
 {
  while(1)
  {
   memset(usedx,0,sizeof(usedx));//注意used的初始化，兩個最用，匈牙利中的used和交錯樹的儲存
   memset(usedy,0,sizeof(usedy));
   if(find(i))
    break;
   for(j=1;j<=mnum;j++)
   {
    if(usedx[j])
    point[j][0]--;//因為資料比較小所以每次檢1，可以減去上文中標記部分最小值
   }
   for(j=1;j<=hnum;j++)
   {
    if(usedy[j])
     point[j][1]++;
   }
  }
 }
 return count();
}
int abs(int x)
{
 return x>0?x:-x;
}
int main()
{
 int i,j;
 while(scanf("%d%d",&row,&col)!=EOF&&!(row==0&&col==0))
 {
  hnum=0;
  mnum=0;
  for(i=1;i<=row;i++)
  {
   scanf("%s",str[i]+1);
   for(j=1;j<=col;j++)
   {
    if(str[i][j]=='H')
    {
     house[++hnum][0]=i;
     house[hnum][1]=j;
    }
    if(str[i][j]=='m')
    {
     men[++mnum][0]=i;
     men[mnum][1]=j;
    }
   }
  }
  for(i=1;i<=mnum;i++)
   for(j=1;j<=hnum;j++)
   {
    dis[i][j]=-(abs(men[i][0]-house[j][0])+abs(men[i][1]-house[j][1]));//取負值，把求最小變成求最大
   }
   printf("%d\n",-km());
 }
 return 0;
}