證明求解約瑟夫斯問題的二進位左迴圈演算法的正確性

待證問題：二進位迴圈左移演算法求約瑟夫問題的證明：
分析：f{1,2,..k}表示k 個人1..k，從begin 序號開始向後殺，最後留下的那個人的號碼
f{1,2,..k}；eg：f{1,2,3}表示{1，2，3}這3 個人，從1 開始，經過兩輪輪殺掉其他人，剩下3.
即f{1,2,3}=3;
易得： {1,2,3,4}4 個人從1 開始第一被殺的人肯定是2，所以剩下{1,3,4}這個狀態時
刻，第一個有權利殺人的人(即begin)是3，所以對{3,4,1}進行f{1,3,4}。
顯然，這是一個可以遞迴的過程。把4->1 看成是連續的數（1＝5%4）即{3,4,5%4}
因此：3 個人, f{1,2,3}=3;
n>3 時候，begin =3;//因為1 號人殺掉2 號後，下一個有權利殺人的人肯定是3 號。
f{1,2,3..n-1};
f{1,2,3,..n-1,n} = f{3,4,5..n-1,n,1}
另外，由問題描述不顯然得出人數是n=2k 時，最後一個肯定是1；而n 的二進位位元就
是k+1。
分析表。（見下面）
結論：
由上分析可以得出以下演算法的遞迴公式：
f(n)=1;(log n == 0;即n 是1，2，22，23…)
f(n)=f(n-1)+2; (n!=4)
=>
f(n)=2*( n-2len-1)+1 （公式）
len 是n 的位元長度
eg. f(7)= 2*(7-23-1)+1=7
f(5)= 2*(5-23-1)+1=3
f(3)= 2*(3-22-1)+1=3
f(2)= 2*(2-22-1)+1=1
用以上分析得到的結論證明待證的問題：
基於以上遞推公式，不難發現，其實是對n 進行了迴圈左移1 位的操作。
a> n-2len-1 等價於將n 化成二進位，去掉最高位的1.
b> 2*()等價於將a 中得到的二進位左移一位
c> +1 等價於將a 中移出去的最高位1 加入b 中得到的數
附：以下是分析的表：
階k, f(k) k 的位元v(k)
20: 1, 1 1
21: 2, 1 10
3, 1+2 11
22: 4, 1 100
5, 1+2 101
6, 1+2+2 110
7, 1+2+2+2 111
23: 8, 1 1000
9, 1+2 1001
11
10, 1+2+2 1010