同餘冪的原理和C++實現，附贈一個10進位數轉換為任意進位的數組的演算法。

 　　18世紀末，高斯這個大牛定義了所謂同餘的概念，這個東西在離散數學裡幾乎到處都是，作用也多的沒話說，特別是現在很多密碼編譯演算法都有用到。而這個同餘冪也是基於同餘中的一個小知識，主要還是因為能夠比較方便的計算非常大的整數的求冪再求模，所以比較不小心就會用到。所以今天有空就專門寫了一個函數的形式，方便以後隨時取用。同時，因為要進行快速同餘冪的計算必須要使用對10進位數位二進位展開，我也就順便寫了一個能夠把10進位資料按任意基數展開的函數當然其實返回的是個vector而不是數組。　　

 

這裡先從同餘簡單開始介紹下：

　　a≡b(mod m) iff(若且唯若)a mod m = b mod m。a≡b(mod m) 就讀作:a模m同餘b。這裡，mod表示模數運算，比如3 mod 2就是3/2的餘數1了。

　　距離來說，比如17≡5(mod 6) ，17模6同餘於5. 因為17/6餘5，而5/6餘5。

　　

　　同餘關係和加法乘法的運算還是同構的，其實就是a + c ≡ b + d (mod m)，和 a*c ≡ b*d(mod m);

 

下面說同餘冪：

　　我們經常會需要快速的求出bn mod m，其中 b n m都是比較大的整數，比如b=12345 n=5567，這樣去直接計算顯然是不可行的，所以我們把n進行二進位展開（就是轉換為二進位）比如這個n就變成了1010110111111，這樣每次只需要求b mod m，b2 mod m，... b2^(k-1) mod m，然後把對應位置上的二進位是1的項乘起來。在每次乘完以後求除m的餘數即可。

 

int ModularExponentiation(int base, int exp_in_bin, int modular); vector<short> baseBexpansion(int num, short b); int main(){ //測試，2413的16進位展開應該是96D //因為沒有修改顯示，所以會顯示成9613 vector<short> a = baseBexpansion(2413, 16); //用迭代器顯示結果 for(vector<short>::iterator it = a.begin(); it != a.end(); it++){ cout<< *it; } cout<<endl; //測試資料，981^937 mod 2537的結果應該是704 int x = ModularExponentiation(981, 937,2537); cout <<x <<endl; } /** * 計算 base^exp mod modular這個同餘冪的值。 * base：底數 * exp_in_bin：指數 * modular：模 * return： 同餘冪 */ int ModularExponentiation(int base, int exp, int modular){ //把exp進行二進位展開 vector<short> n = baseBexpansion(exp, 2); int x = 1; //x = base^exp mod modular; int power = base % modular; for(int i = n.size() - 1; i > -1 ; i --){ if( n[i] ) { //if n[i] == i //從二進位展開後的最右端開始求 x = (x * power)% modular; } //求b^(2^(k-1)) mod m的值 power = (power * power) % modular; } return x; } /** * 計算數字num的b進位展開形式的數組 * num：將被展開的數字 * b：數字展開的基 * return:數字展開後的向量，按照從左往右的順序儲存，如13的二進位展開為1101，儲存的順序也是{1,1,0,1} */ vector<short> baseBexpansion(int num, short b){ int q = num, i = 0, temp = 0; vector<short> a; while(q != 0){ a.push_back(q % b); q /= b; } //反轉a int size = a.size(); for(; i < size/2; i ++){ temp = a[i]; a[i] = a[size-1-i]; a[size-1-i] = temp; } return a; }

 

     實際上，因為這個演算法裡面，因為把求b的n次冪換成了求某個數的2次冪形式，漸而大大的降低了計算的複雜度，比如對於12345678987654321這樣一個指數，它的二進位形式是：101011110111000101010001100010100100011111010010110001，所以最大要計算的數也不過是9007199254740992*9007199254740992= 81129638414606681695789005144064（實際上，這個計算的數決定於modular的值，當modular沒有這麼大的時候，顯然不可能要算這麼大的數字）, 而原來要對一個b計算12345678987654321次冪，即時b是2，在超過5位元的次冪之後幾乎就已經無法用我們c++的double類型計算了。