[珠璣之櫝]位向量/位元影像的定義和應用“珠璣之櫝”系列簡介與索引

　　位向量/位元影像是一個很有用的資料結構，在充分利用小空間儲存大量資料方面非常具有優勢，Linux核心中很多地方都是用了位元影像。同時，它不但基礎，而且用到了很多程式設計語言的知識，以及對細節的把握，常常作為面試題出現。這裡將要介紹它的實現、操作、應用。

　　與位元影像(bitmap)比，我更傾向於用位向量(bit vector)，前者比較容易與圖形學裡的名詞混淆，其實提到位元影像，多指的是“是使用像素陣列來表示的映像”（維基百科），為了避免這一點，下文中使用位向量。先來看看產生位向量的需求：

　　一般地，對於多個對象和一個性質，這些對象可能滿足(true)也可能不滿足(false)這條性質。那麼，為了表示所有對象對這個性質的滿足情況，最容易想到的方式是分配一個int型變數（這裡不討論布爾型，C++沒有對布爾型佔用空間有明確規定；本文主要討論C）作為標誌，用1表示滿足條件，用0表示不滿足條件。同時為了方便查詢，把這些對象的標誌整合成一個數組。顯然，使用int來表示是0還是1有些太浪費空間了，即使把int改為char，浪費的情況也只是減輕了一部分，仍有很大的空間被浪費。考慮到電腦中最小的資料單位是非0即1的二進位位，對於一個對象，使用一個二進位位就足夠了。很多語言都具有位元運算，利用位元運算是可以完成本段開始處提出的要求的。當然，因為不能用一個變數名直接表示一個位，那麼可以將多個位組合成一個基礎資料型別 (Elementary Data Type)，通過對這個基礎資料型別 (Elementary Data Type)進行操作，達到使用位的方法。同時，為了方便，延續使用int數組的做法，把這些由位組合成的基礎資料型別 (Elementary Data Type)也組成數組。

　　經過這樣分析，位向量的實現方法大體是：多個位組成一個基礎資料型別 (Elementary Data Type)，基礎資料型別 (Elementary Data Type)組合成數組。根據這個思路就可以寫出位向量的表示了。在閱讀下面代碼前，建議讀者嘗試自己獨立完成，這是一些提示：簡單起見，使用int作為位組成的基礎資料型別 (Elementary Data Type)，且int使用32位表示；int數組中元素的個數如何計算？

#define N           10000000 //number of elements#define BITPERWORD  32 //bits of int depends on machineint a[(N-1)/BITPERWORD + 1]; //allocate space for bitmap //《編程珠璣》原書中是N/BITPERWORD + 1//如果N恰為BITPERWORD的倍數，那麼又要浪費一個int的空間了//N取0時，仍會浪費一個int的空間//N非0非BITPERWORD的倍數時，最多是最後一個int不完全利用而已

位向量的表示

　　寫完了表示，就需要為這個資料結構增加對應的操作了。對於每個位的操作，有三種：設定為0、設定為1、讀取當前值。根據上文位向量的表示，實現這三種操作。同樣建議讀者先嘗試獨立完成。以下代碼參考自《編程珠璣》習題1.2。

#define SHIFT       5    //32 = 2^5#define MASK        0x1F // vaule 11111 in binary//i代表需要進行操作的第i個對象//i>>SHIFT相當於i/32，將i定位到具體是哪個int中，即a[i>>SHIFT]//i&MASK相當於i%32 只保留i的0至4位，即i在int中的第幾位，然後把1左移這麼多位//將a[i>>SHIFT]和(1<<(i&MASK))視需要進行操作//同1做或運算或即為位設定//同1取反再做與運算即為位清除//同1做與，結果為0則原位為0，為1則原位為1void set(int i)     {        a[i>>SHIFT] |=  (1<<(i&MASK));}void clr(int i)     {        a[i>>SHIFT] &= ~(1<<(i&MASK));}void test(int i)    { return a[i>>SHIFT] &   (1<<(i&MASK));}

位向量操作

　　使用位向量前不要忘記對所有位進行初始化：

for(i=0;i<N;i++)    clr(i);

　　當然，你也可以用這個或許更快的初始化方式：

int temp = N/BITPERWORD+1;for (i=0; i< temp;i++)     a[i] = 0;

補充討論：

Q:為什麼要用看上去並不那麼直接的位元運算而不是i/32和i%32？

A:為了速度而不是易讀性。你所寫下的最初版本如果使用的是/和%，當然沒有錯；當你著手於提高效率的時候，把它們改成移位元運算就勢在必行了。雖然編譯器可能會對/和%在除數為2的冪時進行最佳化，寫成移位元運算，你當然可以自己來完成這件事來保證確實最佳化了。

 

Q:是否可以將存放位向量的數組作為參數？

A:當然可以，上文代碼只是為了敘述方便。

 

Q:是否可以把這三個函數寫成宏？

A:其實我曾經被面試過一道題，就是要求寫一個宏，完成上面clr(i)的任務。寫成宏當然沒問題，注意加好括弧就行，具體的用法讓調用的人去擔心吧（笑）。

 

Q:位向量和位欄位/位域有什麼區別和聯絡？可以用位欄位來實現位向量嗎？

A:C語言允許將結構的整數成員存入比編譯器通常允許的更小的空間裡。然而它有三個風險：不同電腦中對齊限制不同；位欄位寬度限制不同；將位封裝成字的位元組順序不同。在位向量裡，雖然也有依賴於具體電腦特性的限制（需要預Crowdsourced Security Testing道int的位元），但是位的封裝是由程式員來控制的，也不必考慮對其限制。移植性略好於將成員聲明為1位整數位欄位的結構。

 

應用：

1.Linux中分配唯一pid的演算法、記憶體管理的夥伴分配系統等，詳細可以google，關鍵詞：linux+位元影像。

2.一個最多包含n個正整數的檔案，每個數都小於n，其中n=107，並且沒有重複。最多有1MB記憶體可用。要求用最快方式將它們排序並按升序輸出。（《編程珠璣》第一章本文）方法是一次讀入檔案，把出現過的數字對應位置1；讀取完畢後從低位到高位輸出位向量為1的位所代表的數。

3.如果有用時間換空間的必要，可以將尋找1至某個數之間所有質數的埃氏篩法用位向量實現。原始版本的代碼見於《編程珠璣（續）》習題1.2，演算法簡介：一個n位元的數組，對應1至n-1，初值均為真。從2開始，每發現一個質數，就把這個數組中所有這個數的倍數設為假。下一個質數就是數組中下一個為真的位元。迴圈至所有數都被遍曆，即可得到該範圍內所有的質數。

 

引申和擴充：

1.（習題1.6）每個整數最多出現10次而不是1次；如果記憶體限制不變，又應該怎麼做？提示：多趟排序

（更一般的擴充：用幾個位表示一個對象的多個性質，也即一個對象不僅僅只佔用一位而是多位，但每個對象佔用的位元是相同的。重寫位元影像。）

2.（習題1.9）對於稀疏的位向量，初始化很浪費時間。一般地，對於一個向量（不僅限於位向量），怎樣利用輔助資料結構，使得第一次訪問位向量的某一位時才將其初始化為0？

解法：

對於向量int data[N]，分配輔助資料結構int from[N]和to[N]，以及一個整數top，初始化top=0。

插入data[i]時，from[i]填入top，to[top] = i，top++；

這樣維持了一個性質：top代表下一個被插入的值的次序；from[i]代表了data[i]是第幾個被插入的；to[]中小於top的元素to[j]儲存了第j個被插入對應在data[]的下標。

若data[i]未初始化，則from[i]也未初始化，此時即使from[i]中未初始化的垃圾值<top，to[from[i]]!= i，仍能判斷出data[i]未初始化。

 

 

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