zz來自聖經的演算法

《來自聖經的證明》收集了數十個簡潔而優雅的數學證明，迅速贏得了大批數學愛好者的追捧。如果還有一本《來自聖經的演算法》，哪些演算法會列入其中呢？最近，有人在 StackExchange 上發起了提問，向網友們徵集那些來自聖經的演算法。眾人在一大堆入圍演算法中進行投票，最終得出了呼聲最高的五個演算法：

 

第五名： BFPRT 演算法

    1973 年， Blum 、 Floyd 、 Pratt 、 Rivest 、 Tarjan 集體出動，合寫了一篇題為 “Time bounds for selection” 的論文，給出了一種在數組中選出第 k 大元素的演算法，俗稱"中位元之中位元演算法"。依靠一種精心設計的 pivot 選取方法，該演算法從理論上保證了最壞情形下的線性時間複雜度，打敗了平均線性、最壞 O(n^2) 複雜度的傳統演算法。一群大牛把遞迴演算法的複雜度分析玩弄於骨掌股掌之間，構造出了一個當之無愧的來自聖經的演算法。

 

 

第四名：快速排序

    快速排序演算法是 1960 年由英國電腦科學家 C.A.R. Hoare 發明的，是一種既高效又簡潔的排序方法，現在已是學習演算法的必修內容之一。快速排序的思想並不複雜，妙就妙在那個線性資料分割過程，而真正最牛 B 的則是對整個演算法的時間複雜度分析。我曾寫過一個快速排序平均 O(n log n) 的證明，分析過程絕對值得欣賞。

 

 

第三名：並查集

    嚴格地說，並查集是一種資料結構，它專門用來處理集合的合併作業和查詢操作。並查集巧妙地借用了樹結構，使得編程複雜度降低到了令人難以置信的地步；用上一些遞迴技巧後，各種操作幾乎都能用兩行代碼搞定。而路徑壓縮的好主意，更是整個資料結構的畫龍點睛之筆。並查集的效率極高，單次操作的時間複雜度幾乎可以看作是常數層級；但由於資料結構的實際行為難以預測，精確的時間複雜度分析需要用到不少高深的技巧。

 

 

第二名： KMP 演算法

    KMP 演算法是一種非常有效字串匹配演算法，它告訴了人們一個有些反直覺的事實：字串匹配竟然能線上性時間裡完成！整個演算法寫成代碼不足 10 行，但其中蘊含的天才般的奇妙思想讓演算法初學者們望而卻步，而它的複雜度分析則更是堪稱經典。

 

 

第一名：輾轉相除法

    輾轉相除法是 Euclid 的《幾何原本》中提到的一種尋找兩個數的最大公因數的演算法。無論是簡潔的演算法過程，還是深刻的演算法原理，抑或是巧妙的複雜度分析，都稱得上是來自聖經的演算法。而擴充的輾轉相除法則構造性地證明了，對任意整數 a 和 b ，存在一對 x 、 y 使得 ax + by = gcd(a, b) 。這一結論的普遍性和實用性讓它成為了數論中的基本定理之一，在很多數學問題中都能看到它的身影。