0-1背包問題——動態規劃法

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問題描述：給定n種物品和一背包。物品i的重量是w[i]，其價值為v[i]，背包的容量為C。問應如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大?
分析：對於一種物品，要麼裝入背包，要麼不裝。所以對於一種物品的裝入狀態可以取0和1。設物品i的裝入狀態為xi,xi∈ (0,1)，此問題稱為0-1背包問題。
資料：物品個數n=5,物品重量w[5]={2，2，6，5，4},物品價值v[5]={6，3，5，4，6},總重量c=10。背包的最大容量為10，那麼在設定數組m大小時，可以設行列值為5和10，那麼，對於m(i,j)就表示可選物品為i到n且背包容量為j(總重量)時背包中所放物品的最大價值。看下面這個表格即為動態規劃法解0-1背包問題的過程：

表格中灰色的為序號：列的1~5表示5個物品，橫向的1~10表示背包的容量，綠色的列表示相對應物品的的重量，淺藍色的一列表示相對應物品的價值。假設建立一個5*10的數組對應圖片中的棕色部分，棕色部分即為求解的過程，具體求解過程如下：
圖上所示的求解過程是從下往上求解，也就是說先分析第5個物品，最後分析第一個物品。當背包中為空白的時候，考慮第5個物品，當背包容量為1, 2, 3的時候這個背包都是裝不下物品5的，因為物品5的重量是4，因此對應的當背包容量為1, 3, 3的時候背包裡面東西的價值(棕色表格裡面的值)也是為0，當背包容量大於等於4的時候背包可以放下物品5，所以背包裡面東西的價值就是6（因為這裡先只考慮只有一件物品5的時候），到此只有物品5的情況已經分析完畢；
接下來分析同時擁有物品5和物品4的情況，當背包容量為1, 2, 3的時候，背包裡面既放不下4物品也放不下5物品，所以背包裡面物品的價值為0，當背包容量大於等於4的時候，至少可以放下物品5了，這個時候就要取捨了，到底是將物品5放進去價值大還是將物品4放進去價值大，當背包容量為4的時候，只能放進去物品5，價值為6，當背包容量為5的時候如果選擇房屋物品4，那麼剩餘的背包容量為0，尋找背包重量為0的列（在前面步驟已經填充過的部分，這裡只填充了第5行第1列的位置），找這一列的最大值為0，所以選擇放物品4的時候背包價值最大為4<不放物品4（剩餘背包容量為5，尋找背包容量5對應的填充過的部分，其最大值為6）時候的6，所以在背包容量為5的時候的最優值是放物品5而不放物品4，一直分析到背包容量為9的時候當選擇放入物品4的時候，剩餘背包容量為4，再尋找背包容量為4時候已經填充過的部分（即最後一行），可以查得最大值為6，所以這個時候選擇放入物品4可以獲得的最大價值為10。...
中間的過程都是如此，這裡再分析一下最後一個物品的放置，背包容量為2的時候，如果放入物品1，獲得的價值為6，剩餘背包容量為0，剩餘背包容量獲得的最大價值為0，所以6+0=6為最大價值，如果不放入1物品，剩餘背包容量為2，剩餘背包容量可以獲得的最大價值為3，所以最優的時候應該是放入物品1；背包容量為3的時候，若放入1物品，獲得價值6，剩餘背包容量1可以獲得的最大價值為0，所以放入物品1可以獲得的最大價值為6，如果不放入物品1，那麼剩餘背包容量3可以獲得的最大價值（在已經填充過的部分尋找）為3，所以這時也是放入物品1為最優......當背包容量為8的時候放入物品1獲得價值6，剩餘背包容量6可以獲得最大價值為9，放入物品1的最大價值為6+9=15，如果不放入物品1，剩餘背包容量8可以獲得的最大價值為9，所以此時也是放入物品1最優。

總結：通過上面的分析過程，可以歸結為：先考慮這個物品放入的時候可以獲得的最大價值（這個物品的價值+剩餘背包(背包總容量-該物品重量)容量可以獲得的最大價值），再考慮不放入這個物品的時候可以獲得的最大價值（剩餘背包容量(此時就是背包總重量)可以獲得的最大價值），然後將2者進行比較，那種結果的價值大就將哪種結果的價值儲存下來，依次類推。

#include<stdio.h>  const int c = 10;             //背包的容量  const int w[] = {2,2,6,5,4};//物品的重量 const int v[] = {6,3,5,4,6};//物品對應的待加  const int n = sizeof(w)/sizeof(w[0]) - 1 ; //n為物品的個數   int x[n];  void package0_1(int m[][10],const int w[],const int v[],const int n)//n代表物品的個數   {      int i, j;/*********************************最後一個物品單獨放置*********************************/      for(j = 1; j <= c; j++)  {       if(j < w[n]) /*背包容量<最後一個物品的重量時*/   m[n][j-1] = 0;          else /*背包能夠放下最後一個物品時*/           m[n][j-1] = v[n];  }         /*********************************放置前n-1個物品*********************************/      for(i = n-1; i >= 0; i--)          for(j = 1; j <= c; j++) {           if(j < w[i])                  m[i][j-1] = m[i+1][j-1];//如果j < w[i]則，當前位置就不能放置，它等於上一個位置的值            else //否則，就比較到底是放置之後的值大，還是不放置的值大，選擇其中較大者   m[i][j-1] = m[i+1][j-1] > m[i+1][j-1-w[i]]+v[i] ? m[i+1][j-1] : m[i+1][j-1-w[i]]+v[i];}}  void answer(int m[][10],const int n)  {      int j = c-1; /*i = 0, j= c-1座標上存放著背包容量為c時的最大價值*/     int i;     for(i = 0; i < n; i++)          if(m[i][j] == m[i+1][j]) x[i] = 0;          else                {   x[i] = 1;  /*如果當前物品放入了背包*/j = j - w[i];  /*重新計算背包剩餘容量，以計算在取最優時其他物品的取捨情況*/        }i -= 1;    x[n] = m[i][j] ? 1 : 0;   }  int main()  {   int m[6][10]={0};  int i, j;    package0_1(m,w,v,n);   for(i = 0; i <= 4; i++)   {       for(j = 0; j < 10; j++)       printf("%3d ",m[i][j]);       printf("\n"); }    answer(m,n);   printf("The best answer is:\n");   for(i = 0; i < 5; i++)  printf("%d ",  x[i]);  printf("\n"); return 0;  }  

程式運行結果如下：