01背包問題【動態規劃】

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問題：

假設有n個物品，每個物品都是有重量的，同時每個物品也是有價值的，要求把這些物品放到一個背包中，這個背包的載重量是有限制的，怎麼使得背包裡面的物品總價值最大？

符號表示：

N：物品個數

W：背包載重量

w[i]：物品i的重量（1<i<=N）

v[i]：物品i的價值（1<i<=N）

c[i, j]：到物品i為止，背包重量限制為j的最優解（1<i<=N, 1<j<=W）

分析：

1. 最優解結構：對於物品i，只有兩種情況，放入或不放入。假設物品i放入了是最優解的一部分，那麼我們這時候拿掉物品i，c[i-1, j-w[i]]也應該是最優解
2. 遞迴定義最優解的值：
4. 按自底向上的方式計算最優值：雙重迴圈，i從1到N迴圈，j從1到W迴圈
5. 由計算出的結果構造一個最優解：自頂向下，i從N到1迴圈，如果c[i,j]>c[i-1,j]，則物品i放入背包，否則反之。

代碼（c++）：

#ifndef ___1package__package__#define ___1package__package__#include <iostream>#include <string>#include <vector>using namespace std;class Package{public:    void init(string dataSource);    void print();private:    void compute();    int m_nN;  // The number of object    int m_nW;  // The max weight of package    vector<int> m_vecWeight;  // The weight of object    vector<int> m_vecValue;   // The value of object    vector<vector<int> > m_vecMatrix;  // The results matrix    };#endif /* defined(___1package__package__) */

////  package.cpp//  01package#include "package.h"#include <fstream>void Package::init(string dataSource){    // read data from datasource    ifstream file;    file.open(dataSource);    if (file.is_open()){        string buffer;        file>>m_nW;        file>>m_nN;        m_vecWeight.clear();        m_vecWeight.push_back(0);        m_vecValue.clear();        m_vecValue.push_back(0);        int w, v;        for (int i=0; i<m_nN; ++i) {            file>>w>>v;            m_vecWeight.push_back(w);            m_vecValue.push_back(v);        }        while(!file.eof()){            file>>buffer;            cout<<buffer<<endl;        }    }    file.close();        m_vecMatrix.clear();    // set first row and first column to zero    for (int i=0; i<=m_nN; ++i) {        m_vecMatrix.push_back(vector<int>(m_nW+1, 0));    }    }void Package::print(){    compute();    cout<<"\n=====The Results======\n"<<"The max value: "<<m_vecMatrix[m_nN][m_nW]<<endl;}void Package::compute(){    for (int i=1; i<=m_nN; ++i) {        for (int j=1; j<=m_nW; ++j) {            int cur_weight = m_vecWeight[i];            if (cur_weight>j) {                m_vecMatrix[i][j] = m_vecMatrix[i-1][j];            } else{                m_vecMatrix[i][j] = max<int>(m_vecMatrix[i-1][j-cur_weight]+m_vecValue[i], m_vecMatrix[i-1][j]);            }        }    }}

輸入的測試資料可以參考：http://zhidao.baidu.com/question/77646243.html