1 時間序列基本概念_時間序列分析

1 時間序列與隨機過程

隨機變數序列 Y t :t=0,±1,±2,±3,...  稱為一個隨機過程，並以之作為觀測時間序列的模型。 2 均值、方差和共變數

對隨機過程 Y t :t=0,±1,±2,±3,...  ，均值函數定義如下：
μ t =E(Y t ),t=0,±1,±2,... 
即 μ t   恰是過程在 t  時刻的期望值。
自共變數函數 γ t,s   定義如下：
γ t,s =Cov(Y t ,Y s ),t,s=0,±1,±2,.. 
其中 Cov(Y t ,Y s )=E[(Y t −μ t )(Y s −μ s )] 
自相關函數 ρ t,s   定義如下：
ρ t,s =Corr(Y t ,Y s ),t,s=0,±1,±2,.. 
其中： Corr(Y t ,Y s )=Cov(Y t ,Y s )Var(Y t )Var(Y s ) − − − − − − − − − − − − −  √    1 隨機遊動

令 e 1 ,e 2 ,...  為均值為0，方差是 σ ι  2   的獨立同分布的隨機變數序列，觀測時間序列 Y t :t=1,2,...  構造如下：
Y t =Y t−1 +e t   ,初始條件為 Y 1 =e 1  
註：隨著時間推移，均值不變，方差隨著時間軸性增長，相鄰時點上Y值的正相關程度越來越強。 2 滑動平均

假設構造 Y t   如下：
Y t =e t +e t−1 2  
可證明對所有的 t  ,都有 ρ t,t−k   相等。進而引出平穩性概念。 3 平穩性 1 平穩性

平穩性的基本思想：決定過程特性的統計規律不隨時間的變化而變化。從一定意義上說，過程位於統計的平衡點上。
如果對一切時滯 k  和時點 t 1 ,t 2 ,...,t n   都有 Y t 1  ,Y t 2  ,...,Y t n    與 Y t 1−k  ,Y t 2−k  ,...,Y t n−k    的聯合分布相同，則程過程 Y t   為嚴平穩的。
一個隨機過程 Y t   稱為弱（二階矩）平穩的條件是：
1. 均值函數在所有時間上恒為常數
2. γ t,t−k =γ t0,k   ,對所有的時間 t  和滯後 k  2 白色雜訊

定義為獨立同分布的隨機變數序列 e t   ，是嚴平穩的。
假設白色雜訊過程具有0均值，且記方差為 σ ι  2   3 隨機餘弦波

定義一個過程：
Y t =cos[2π(t12 +Θ)]t=0,±1,±2,... 
其中的 Θ  (一次性)選自區間0到1上的均勻分布
根據均值和方差，可證明該過程也是平穩的。
綜上：對於給定時間序列，僅基於觀測資料的時間順序圖表難以評估平穩性是否為一個合理假設。