程式員面試100題之十：快速尋找滿足條件的兩個數

      能否快速找出一個數組中的兩個數字，讓這兩個數字之和等於一個給定的值，為了簡化起見，我們假設這個數組中肯定存在至少一組符合要求的解。

     假如有如下的兩個數組，：

    5，6，1，4，7，9，8

    給定Sum= 10

    1，5，6，7，8，9

    給定Sum= 10

   分析與解法

    這個題目不是很難，也很容易理解。但是要得出高效率的解法，還是需要一番思考的。

    解法一

     一個直接的解法就是窮舉：從數組中任意取出兩個數字，計算兩者之和是否為給定的數字。

     顯然其時間複雜度為N（N-1）/2即O（N^2）。這個演算法很簡單，寫起來也很容易，但是效率不高。一般在程式設計裡面，要儘可能降低演算法的時間和空間複雜度，所以需要繼續尋找效率更高的解法。

     解法二

     求兩個數字之和，假設給定的和為Sum。一個變通的思路，就是對數組中的每個數字arr[i]都判別Sum-arr[i]是否在數組中，這樣，就變通成為一個尋找的演算法。

     在一個無序數組中尋找一個數的複雜度是O（N），對於每個數字arr[i]，都需要尋找對應的Sum-arr[i]在不在數組中，很容易得到時間複雜度還是O（N^2）。這和最原始的方法相比沒有改進。但是如果能夠提高尋找的效率，就能夠提高整個演算法的效率。怎樣提高尋找的效率呢？

     學過編程的人都知道，提高尋找效率通常可以先將要尋找的數組排序，然後用二分尋找等方法進行尋找，就可以將原來O（N）的尋找時間縮短到O（log2N），這樣對於每個arr[i]，都要花O（log2N）去尋找對應的Sum-arr[i]在不在數組中，總的時間複雜度降低為N* log2N。當讓將長度為N的數組進行排序本身也需要O（N*log2N）的時間，好在只須要排序一次就夠了，所以總的時間複雜度依然是O（N*log2N）。這樣，就改進了最原始的方法。

     到這裡，有的讀者可能會更進一步地想，先排序再二分尋找固然可以將時間從O（N^2）縮短到O（N*log2N），但是還有更快的尋找方法：hash表。因為給定一個數字，根據hash表映射尋找另一個數字是否在數組中，只需要O（1）時間。這樣的話，總體的演算法複雜度可以降低到O（N），但這種方法需要額外增加O（N）的hash表格儲存體空間。某些情況下，用空間換時間也不失為一個好方法。

     解法三

     還可以換個角度來考慮問題，假設已經有了這個數組的任意兩個元素之和的有序數組（長為N^2）。那麼利用二分尋找法，只需用O（2*log2N）就可以解決這個問題。當然不太可能去計算這個有序數組，因為它需要O（N^2）的時間。但這個思考仍啟發我們，可以直接對兩個數位和進行一個有序的遍曆，從而降低演算法的時間複雜度。

      首先對數組進行排序，時間複雜度為（N*log2N）。

      然後令i = 0，j = n-1，看arr[i] + arr[j] 是否等於Sum，如果是，則結束。如果小於Sum，則i = i + 1；如果大於Sum，則 j = j – 1。這樣只需要在排好序的數組上遍曆一次，就可以得到最後的結果，時間複雜度為O（N）。兩步加起來總的時間複雜度O（N*log2N），下面這個程式就利用了這個思想，代碼如下所示：

int getSumNum(int[] arr,int Sum)，   //arr為數組，Sum為和 {int i,j;for(i = 0, j = n-1; i < j ; ){if(arr[i] + arr[j] == Sum)return ( i , j );else if(arr[i] + arr[j] < Sum)i++;elsej--;}return ( -1 , -1 );}

      它的時間複雜度是O（N）。

      剛開始一直無法理解這樣一定可以找到這個和嗎？難道不會漏掉瞭解的位置。可以這麼理解，假如排好序後的數組為1,3,6,a,9,12,17,28,b,35,46  ,那麼i最初指向1的位置，j最初指向46的位置，比如所求的是Sum=a+b，a<b，a和b在數組中的某位置上。那麼i和j在變化過程中，只考慮i遇到了a或者j遇到了b的時候，必定有一個先遇到，比如i遇到了a，那麼這個時候j必定還沒指到b，故這是j指到的值比b大，從而j減小直到b位置。同理若j先指到了b位置，那麼i必定還沒指到a(這是我們的前提)，然後i現在指到的值比a小，故i增加，直到a位置。

 

 擴充問題

1、如果把這個問題中的“兩個數字”改成“三個數字”或“任意個數字”時，你的解是什麼呢？

三個數字：首先還是先對數組進行排序，然後從i=0到n-1進行遍曆，遍曆arr[i]時，在調用上面的函數getSumNum(arr , Sum-arr[i])即可。

任意m個數位想法：

      首先還是先對數組進行排序，然後從i=0到n-1個元素遍曆，遍曆arr[i]時，在剩下的n-1個元素中調用getSumNum(arr,Sum-arr[i])，此時為求m-1個元素和為Sum-arr[i]；接下來，同樣的方法,從j=0到n-2個元素遍曆，遍曆arr[j]時在arr上遞迴調用getSumNum(arr,Sum-arr[i]-arr[j])，此時為求m-2個元素和為Sum-arr[i]-arr[j]；依次遞迴，直到為求2個元素和為Sum-?-?-?...時為止。

不論是求3個數字還好是m個數字，總是能比較窮舉法少一個數量級n，比先排序然後二分尋找求Sum-arr[i]也要快。