12球太少，我3次能稱14球，不相信？我還4次稱41球，5次122球……

本文原發表於我在JavaEye的技術部落格。
流傳的題目很簡單，12個乒乓球（或金幣之類的）其中一個是次品，重量與其他球不一樣（但是不知是輕了還是重了），給一個天平，看幾次可以稱出來哪個球是壞球。

這個題目很久以前在大學的BBS上發表過解法，現在找不到了，重新寫一遍也不費勁。

實際上是可以稱14球的，下面是解法（設為A1-A14）。
注意，14球的前提是有多一個標準球A0。 否則只能稱13球。

A0-A4 vs A5-A9
如果相等，則壞球在A10-A14這5個球中。

5球（重新記做A1-A5外加一個A0為標準球）的稱法如下：
A0,A1 vs A2,A3
如果相等，則壞球是A4或A5，取其中一個與A0再稱一次即可判斷（這個不用說了，人人都知道怎麼稱）。
如果不等，假設A0,A1 > A2,A3（<的話，下面的判斷都反一反即可），則再稱一次：
A2 vs A3
如果相等，則壞球是A1，否則A1就是好球，壞球在A2、A3中，根據上一次稱量結果可以判斷出，壞球比標準球輕，所以A2 vs A3的結果，輕的那個就是壞球。

如果第一次稱量不等，則壞球在A1-A9這9個球中，並且你知道一個不等關係，我們假設是A0-A4 > A5-A9（<的話，下面的判斷都反一反即可）。

然後測A1,A2,A5 vs A3,A4,A6
如果相等，則壞球在A7,A8,A9中，並且可以推匯出其中輕的那個是壞球，再稱一次肯定能找出壞的那個。
如果A1,A2,A5 > A3,A4,A6
則壞球在A1,A2,A6中，並且可以推匯出A1,A2 > A0,A6
反之壞球在A5,A3,A4中，並且可以推匯出A5,A0 < A3,A4
不難看出這兩種情況實際是等價的，只需比較兩個同處一側的球就可以判斷哪個是壞球了。

如果沒有標準球A0的話，那第一次稱量就不能5對5了，只能4對4，所以最多隻能稱13個球。第一次相等的情況跟前面完全一樣，如果不等，就是那 8個球有問題，比前面的9個還少一個，所以你肯定可以稱出來。那麼為什麼常見的題目都是12球呢？估計最初流傳時很少有人真正從理論（資訊理論）上理解這個 題，所以答案都是湊出來的，自然很難做到最佳化。

但是如果掌握了理論，這個稱球問題就可以推廣，比如4次最多可以稱量27+14=41個。前提也是你多一個標準球，這樣第一次稱量就是14 vs 13+1，如果相等，壞球就在剩下的14個裡，就轉化為了前面描述的14球稱量問題。如果不等，則壞球在27個裡，通過合理調配，你肯定可以把它們區別成 3組分別9個，通過一次稱量判斷出壞球到底是在哪9個球中。因為一次稱量有3種狀態，可以把一堆球分成3組。以下每次都是3組1分，所以27=3的3次方 就是表示3次稱量就可以區分出來了。

不難看出，如果5次的話，可以最多稱量27*3+41=122個，以下可以逐級類推，有興趣的同志可以求出它的公式。

最後是一個思考題，既然可以3個一組分，為什麼3次稱量只能稱14個而不是27個呢？