20×20×20的實心立方體

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一個20×20×20的實心立方體由2000塊：2*2*1的磚砌成．
試證明這個立方體能夠被與它的一個面垂直的一條直線刺穿，
這條直線要通過立方體的內部但卻不會穿過任何一塊磚.

 

um2002               等級：少尉     威望：3     文章：161     積分：7721     註冊：2002-05-20	第 4 樓     20×20×20的實心立方體 6*6的方格用1*2的長方形無論怎麼覆蓋 都可以找到一條直線將方格紙分成兩個部分 而不破壞任何一個長方形。 是不是一樣的？
2002-09-21 11:00

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tycolion               頭銜：論壇顧問     等級：貴賓     威望：10     文章：4680     積分：51187     門派：聖門天人合一宗     註冊：2002-04-04

第 5 樓     20×20×20的實心立方體 [quote]下面引用由[u]um2002[/u]在 2002/09/21 11:00am 發表的內容： 6*6的方格用1*2的長方形無論怎麼覆蓋 都可以找到一條直線將方格紙分成兩個部分 而不破壞任何一個長方形。 是不是一樣的？ [/quote] 你這是提示嗎？：） 悵辭紅樓踏飛舟，佳人只如昨夜秋；<br>浮塵飛逝留不住，清風拂去少年愁。<br> [move]暗凝不動根本印，手結大金剛輪印，十指蓮花，螺旋勁發，破碎虛空而入.....[/move] aShDFSiod<font color=#00008B><b><font size=2>悵辭紅樓踏飛舟，佳人只如昨夜秋；

tycolion               頭銜：論壇顧問     等級：貴賓     威望：10     文章：4680     積分：51187     門派：聖門天人合一宗     註冊：2002-04-04

第 12 樓     20×20×20的實心立方體 [這個貼子最後由tycolion在 2002/09/30 09:34am 編輯] 首先，只需考慮經過整格點的平行於某個平面的直線即可。這樣的直線共有19*19*3=1083條。 然後，如果某條這樣的直線穿過一塊磚，則必然穿過偶數塊，即至少兩塊。 證明如下： 如果存在一條直線只穿過恰好一塊磚。 考慮的劃分，即穿過這條直線的兩個垂直的平面將整個大立方體分為4個地區。被這條直線穿過的那塊磚每個地區各有1各小方塊。 注意到任何一個過整個點的平行於某個表面的平面要麼切不到磚，要麼將磚一分為二（即每邊各兩小塊）。 所以的兩個平面，除了那塊被分為4份的磚，其餘的必然是偶數的劃分。 所以每個地區必然是偶數+1，即共有奇數個小方塊。 但，顯然每個地區都共有偶數個小方塊。 矛盾！ 所以，每條這樣的直線穿過一塊磚，則必然穿過至少兩塊。 最後，注意到每塊磚不可能被兩條這樣的直線同時穿過， 所以，1083條這樣的直線至少需要1083*2=2166 > 2000（磚塊的總數） 又是不可能，所以原命題成立！ QED [img]http://www.iqstar.net/bbs/usr/9/9_902_11.jpg[/img] 悵辭紅樓踏飛舟，佳人只如昨夜秋；<br>浮塵飛逝留不住，清風拂去少年愁。<br> [move]暗凝不動根本印，手結大金剛輪印，十指蓮花，螺旋勁發，破碎虛空而入.....[/move] aShDFSiod<font color=#00008B><b><font size=2>悵辭紅樓踏飛舟，佳人只如昨夜秋；