3. 矩陣的幾何解釋

先通過向量來理解矩陣。向量[1, -3, 4]可以解釋成如下的向量的加法

任意向量v都可以寫成如下擴充形式

進一步寫成：

右側的單位就是x, y, z軸，記為nx, ny, nz。我們可以將其寫成：

v=x*nx+y*ny+z*nz

 

如果我們用向量p,g,r重寫nx, ny, nz意義不變：

v=xp+yg+zr

這裡p,g,r就稱為基向量，在這裡它們是笛卡爾座標軸。事實上，一個座標系能用任意三個線性無關的向量作基向量來定義，[x,y,z]是向量v在以p,g,r為基向量的座標系中的表示。以p,g,r為行定義一個3*3矩陣M，得到

向量[x,y,z]乘以該矩陣，得到

我們發現它和v的運算式一樣，因此我們得到以下結論：

 

矩陣的行是座標系的基向量，一個向量乘以該矩陣就相當於執行了一次座標轉換。如果aM=b，意味著原座標系下的向量a在M的作用下（具體作用就是座標變換，新的座標系基座標是p, q）轉換到向量b。（如果p,q,r如果和nx, ny, nz值一樣，則說明座標系還是原來的座標系，沒有發生操作）

 

分別用三個基向量乘以矩陣M，由下式我們發現：矩陣的每一行都能解釋為轉換後的基向量。

 

 下面的例子

 

 

笛卡爾座標系下向量a在矩陣M的作用下（具體作用就是座標變換，新的座標系基座標是p, q）轉換到向量b。（b的具體座標值還是用笛卡爾座標表示，笛卡爾座標相當於全局座標系，是根節點座標系，也是全局座標系下的絕對位置，但是向量b是向量a經過M變換（包括旋轉、伸縮）後產生的。）

 

原座標系下有一幅畫，那麼經過M=[2 1; -1 2]的變換後得到的效果是旋轉展開後的映像：

aM=b，其中a是原座標（笛卡爾座標系），此向量相對於座標系位置如上面左圖，M矩陣包含了新的座標系的基，M的作用是旋轉、縮放、投影等，b是a在M操作後新的向量，

a與原座標系的相對位置，在進行M操作之後，與新座標系下的向量跟該座標系的相對位置應該一樣的，即（a與原座標系x-y的現對位置）等效於（b與變換後座標系p-q的相對位置）。a向量經過旋轉伸縮之後得到新向量b，b的具體位置靠絕對座標（全局座標）來表示，也就是用笛卡爾座標表示。

 

比如上面左圖中向量a在笛卡爾座標系中的相對位置確定的（這個相對位置不一定是角度，如果只是旋轉，則角度不變，如果有伸縮，則角度會變化），在進行M操作，旋轉伸縮之後，得到新的座標係為p-q，新的向量b與新座標系的相對位置也是類似於（a與笛卡爾座標西的相對位置）。M變換前，a是對角線，M變換後，b還是對角線。

 

 

aM=b，也可以這樣理解，中，有一個物體，建立了一個物體座標系，物體中某一點A串連物體座標系的原點構成了向量a，M是對這個物體進行的操作（旋轉、縮放、投影等），M操作完了之後，物體座標系相對於物體的方位是不變的（就好比人的前後左後，不管站在什麼角度，我的前後左右相對於我的方向是不變的），向量b物體中A點在物體旋轉之後新的位置A1與物體原點串連成的向量。但是呢，a和b都採用全局座標描述絕對位置。

 

總結：矩陣的幾何意義

aM=b，其中M=[p;q;r]

a是全局座標系下的向量，對a進行M變換，M變換後新的座標系是以p, q,r 為座標系的基，向量b是在新的基下的值，且p, q,r 的係數分別是a的三個係數。其中向量b的位置用全局座標（絕對座標）來描述。