3372 Candy Distribution

知道要證明什麼情況下(x)=(x*(x-1))/2 mod N為N的完全剩餘系（從0開始標號），但是YY了一節課都沒有太好的思路，回來看了大牛的證明，自己又研究了一會，終於懂了

 

首先,我們可以發現，f(x)的周期為N或者2*N,但當周期是2*N時，前N個數和後N個數是對稱的，可以參考

http://hi.baidu.com/findthegateopen/blog/item/03e5802e19f1ea301e3089f9.html

 

於是，為了證明什麼情況下f(x)%N為N的完全剩餘系，我們可以假設0<=i<j<N，且f(i)==f(j)，即假設f(x)%N不是N的完全剩餘系

可得i*(i-1)/2=j*(j-1)/2 mod N,整理下可得(j-i)*(i+j-1)/2=0 mod N

 

可以發現，j-i與i+j-1的奇偶性相反

討論：如果j-i為偶數

（1）如果(j-i)/2為偶數，由於此時i+j-1為奇數，則N=S*2^k(S為正奇數，k>0)

S為i+j-1的因子，2^k為(j-i)/2的因子，但是當S=1時，N=2^k,且必為(j-i)/2的因子，因為它不可能是i+j-1(奇數)的因子，那麼j-i=2*N或j-i=0，由於0<=i<j<N，顯然不可能，則S其實應該為大於1的奇數

 

(2)如果(j-i)/2為奇數，由於此時i+j-1也為奇數，則N=P*Q(P,Q為正奇數),可以認為P為(j-i)/2的因子，Q為i+j-1的因子

 

綜述，當N=S*2^k(S>1且S為奇數，k>0),或者N=P*Q(P,Q為正奇數)時，f(x)%N不能構成N的完全剩餘系

 

以上兩種情況包含了出N=2^k(k>0)以為的所有情況，所以只有當N=2^k(k>0)時，f(x)%N為N的完全剩餘系

 

總結：

一開始就明確了證明的目標，但是卻沒想到通過反證法去和定義找矛盾來證明，自己的思維能力還是很差

回顧整個證明過程，其中有很多巧妙的地方，如果沒有一定積累，很難會想到，例如N的表示方法和j-i與i+j-1的奇偶性相反

其實所有偶數可以表示為N=S*2^k(S為奇數，k>0)的形式，所有奇數可以表示為N=P*Q（P,Q為奇數)的方式

 

另外，二進位下判斷一個數是否為2的方冪,可以用X&(X-1)來判斷，如果結果為0，說明是，否則，說明不是