343. Integer Break

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問題

將一個正整數分成至少兩個正整數的和，使得最大化這些整數的乘積，給出最大乘積。

Input: 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

思路

什麼時候pq > p + q，只要p和q都大於1就滿足。在正整數裡，兩個為2時pq==p+q，所以只要一個至少為2，另一個至少為3即可，也就是p+q至少為5，那麼只要一個數大於等於5，就可以把這個數分解成p+q，使得pq > p + q，如果p或者q裡面還有大於等於5的數，就將p或q繼續分解，不斷往下分解，直到因子小於5。

因為要分解到小於5，所以最後的因子一定是2或者3（或者4），因為分成4和分成2是一樣的（兩個2和1個4的乘積相同），所以我們考慮3和2要怎麼分配。

考慮一個數有m個3和n個2相加，即\(x = 3m + 2n\)，那麼積等於m個3和n個2相乘，定義一個函數，\(f = 3^m * 2^n = 3^m * 2^{\frac{x - 3m}{2}}\)，可以得到$ln  f $是一個關於m遞增的函數，如下公式所示。所以m越大越好，m表示3的個數，也就是說分解的時候盡量分多一些3，分到不能分再分2。
\[\begin{split}ln\ f &= m * ln3 + \frac{x - 3m}{2} * ln2 \ &= \frac{x}{2} ln \ 2 + (ln\ 3 - \frac{3}{2}ln\ 2)*m \end{split}\]

時間複雜度O(n)，空間複雜度O(1)

代碼

class Solution(object):    def integerBreak(self, n):        """        :type n: int        :rtype: int        """        if(n == 2 or n == 3):            return n-1        res = 1        while(n>=5):            n -= 3            res *= 3        res *= n        return res     

出於以下考慮，還可以這麼寫。
如果n%3 == 0，可以分解成n/3個3，它們的積為\(3^{n/3}\)。
如果n%3 == 1，說明和的形式為n/3 * 3 + 1，把其中一個3和單獨的1改寫為2個2，它們的積為\(3^{n/3-1} * 2 * 2\)。
如果n%3 == 2，說明和的形式為n/3 * 3 + 2，它們的積為\(3^{n/3} * 2\)。

class Solution(object):    def integerBreak(self, n):        """        :type n: int        :rtype: int        """        if n>=4:            if n%3 == 0:                return 3**(n/3)            if n%3 == 1:                return 3**(n/3-1)*4            else:                return 3**(n/3)*2        return n-1

343. Integer Break