3D座標系變換

前提：opengl使用右手座標系，向量列向量，所有矩陣變換均是右乘的形式。

V4*1 =M4*4 * V4*1

參加之前的一篇blog：http://blog.csdn.net/dizuo/archive/2008/04/17/2302364.aspx

一、理論

 

父座標系：

         (x,y,z)T是父座標系中任意一點，三個座標基: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)。

孩子座標系：

         原點在父座標系的座標為：P = (Px,Py,Pz)T ，三個座標基為Right，Up，Look，縮寫為：R,U,L, (x',y',z')T點是孩子座標系中的任意一點。

 

1）公式的數學推導

將孩子座標系的(x',y',z')T點轉化到父座標系中：

 

筆誤：最後一個等式 44矩陣第一列的前三行應該分別是Rx, Ry, Rz

2）公式的直觀理解：4*4矩陣可以分為3*3的旋轉矩陣RotMat和一個3*1的平移向量TransVec：

[RT, UT, LT], [-RT.dot(P), -UT.dot(P), -LT.dot(P)
]

3*3的矩陣將父座標系的三個座標軸旋轉成R，U，L:

(1,0,0) *RotMat=(Rx, Ry,
Rz)

 (0,1,0) *RotMat=(Ux, Uy,
Uz)

(0,0,1)*RotMat=(Lx, Ly, Lz)

根據上面三個等式也可以確定RotMat = [RT, UT, LT]，將RotMat擴充為4*4的矩陣：

M44 = 

該矩陣可以把父座標系中的P點變換為孩子座標系的原點，即：

(Px, Py, Pz,1) * M44 = (0,0,0,1)

進而解方程得出：

a
=  -P.dot(R)

b 
=  -P.dot(U)

c
=  -P.dot(L)

二、代碼實現

opengl中的gluLookAt函數：eye，target，up

//eye 為眼睛位置，target為看的目標位置，up為照相機的正方向<br />Matrix4<Type> MakeView( const gtl::Vec3<Type>& eyes, const gtl::Vec3<Type>& target, const gtl::Vec3<Type>& up)<br />{<br />// f-> look/z<br />// u-> up/y<br />// s-> right/x<br />gtl::Vec3<Type> f = target - eyes;f.normalize();<br />gtl::Vec3<Type> s = f.cross(up);s.normalize();<br />gtl::Vec3<Type> u = s.cross(f);<br />Type sdote = s.dot(eyes);<br />Type fdote = f.dot(eyes);<br />Type udote = u.dot(eyes);<br />return Matrix4<Type>(<br />s.x(),u.x(),-f.x(), 0.0,<br />s.y(),u.y(),-f.y(), 0.0,<br />s.z(),u.z(),-f.z(), 0.0,<br />-sdote, -udote, fdote, 1 );<br />}

對比最終的Matrix4矩陣和第一部分中的推導，會發現第三列差個符號：因為opengl中視點必須位於z軸負方向，視線方向為-z方向，所以最終4*4矩陣中L分量取負，而LT.dot(P) 平移分量為正。

三、應用

1，全局座標系變換到視點座標系：

opengl中gluLookAt函數：

gluLookAt(eyex, eyey, eyez, centerx, centery, centerz, upx, upy, upz)

計算視點座標系：

Look向量為：(centerx-eysx, centery-eyey,centerz-eyez)T，單位化Look；

Up單位化

Right = Cross( Look, UP )

再從新計算一次：Up = Cross(Right, Look)

gluLookAt函數定義：http://www.opengl.org/sdk/docs/man/xhtml/gluLookAt.xml

 

2，情境中層次座標系轉化，全局座標系和局部座標系的轉化，一個M44矩陣搞定。