3D遊戲基礎 空間幾何（二） 向量運算

與向量相關的運算包括：向量相等，向量長度（模），向量正常化，向量加減，向量縮放，點乘，叉乘。

向量相等：

需同時滿足兩個條件， 維數相同 和 對應分量相同。

如： Ux = Vx, Uy=Vy, Uz=Vz 則， (Ux, Uy, Uz) == (Vx, Vy, Vz)

 

向量長度(用絕對值符號括上)：得到的結果是響亮的長度，是一個標量

|U| = SQR(Ux*Ux + Uy*Uy + Uz*Uz)

 

向量正常化：這個過程的意義就是將向量的長度變為單位長度 “1”，得到的結果是長度為1，方向不變的向量。

V = U / |U| = (Ux / |U|, Uy / |U|, Uz / |U|)

 

向量加減：即向量間對應項做加減

U + V = (Ux+Vx, Uy+Vy, Uz+Vz) ; U - V = (Ux-Vx, Uy-Vy, Uz-Vz)

圖上顯示了向量加減的幾何意義。向量減法(U-V)，就會產生從V指向U的向量；而向量加法(U+V)，就得到由 U, V構成的平行四邊形的不同於 U-V 的另一條對角線。

 

向量縮放（數乘）：即以一個標量乘以一個向量，這個運算可以對向量進行縮放，它會改變向量的 模。如果標量為正數，則不會改變向量的方向；如果為負數，則向量會反向。

設標量為k，向量為U

k*U = (k*Uz, k*Uy, k*Uz)

 

點乘：設向量 U 和 V，夾角 theta， Dot 代表 點乘，其運算結果是一個標量

U Dot V = Ux*Vx + Uy*Vy + Uz*Vz  = |U| * |V| * COS(theta) = s

若 s = 0，表示 theta = 90°

若 s > 0，表示 theta < 90°

若 s < 0，表示 theta > 90°

 

叉乘：用 Cross 表示，其運算結果為一向量。不滿足交換律。

U Cross V = (Px, Py, Pz) = P

Px = (Uy*Vz - Uz*Vy)

Py = (Uz*Vx - Ux*Vz)

Pz = (Ux*Vy - Uy*Vx)

結果P，為垂直於 (U, V)構成的平面。