3D遊戲基礎 空間幾何（三） 變換、平面、射線

因為內容都不多，所以把變換 與平面、射線  合在一起說。
變換包含：平移、旋轉和縮放。
我們可以對座標進行所有的三種變換操作；
而對於向量，則只能做 旋轉 和 縮放，因為向量不包含位置資訊，所以對他做平移變化是無意義的。

每一種變換，都有對應的變換矩陣，用向量或座標乘以變換矩陣，即可對它們完成變換。
變換矩陣之間，也可以做乘法疊加，疊加的幾何意義是把變換按疊加的先後順序複合到一個矩陣中去，注意矩陣疊加不滿足交換律。
變換矩陣是一個4 x 4的矩陣，所以向量和座標需要擴充到齊次空間中。

向量：(x, y, z, 0)
座標：(x, y, z, 1)
他們的區別在於第四項，向量的第4項取0，可以使矩陣的平移變換失效，而不影響旋轉和縮放運算。
座標第4項取1，使平移有效，並且平移變換的比例不會被變化。如果取2，則其平移的距離則是矩陣中定義的2倍。以此類推。
注意，在變換後，有可能出現第4項非0/1 的情況，這個時候，我們必須要做一個映射動作，將它從齊次空間映射回3維空間，方法很簡單：
(x, y, z, w) --> (x/w, y/w, z/w, w/w) --> (x/w, y/w, z/w, 1) --> (x/w, y/w, z/w)

具體的變換矩陣就不寫出來了，很容易找到。矩陣運算，請參考《線性代數》。

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平面：
設空間中有向量 P0，則 (P - P0) 就形成了一條屬於某個平面的新的向量。即定義了以(P - P0)為軸，穿過這個軸的所有平面。那麼，要確定在這眾多平面中某一個特定平面，則需要再確定一個垂直於這個平面的向量 （法向量） n，即有n Dot (P - P0) = 0，這樣就定義出了一個平面。
其中，法線向量通常要做正常化運算。且，n 和 P0都是確定的，所以，平面可定義為：
n Dot P - n Dot P0 = 0， 令 d = - n Dot P0，則有：
                                                                                       n Dot P + d = 0
相關的判斷：
n Dot P + d = X；
若 X<0， 點P位於平面的背面，|X| 即點P到平面的距離
若 X>0， 點P位於平面的正面，|X| 為點P到平面的距離
這兩點，很容易證明，就不再詳細寫了。

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射線：
設起點為 P0, 方向為 u， t 為參數，t 屬於 [0, 無窮大)，當t 屬於(-無窮大， +無窮大）時就表示直線。
p(t) = p0 + t * u

可以再根據平面和射線的定義，推匯出平面與射線相交的方程。
因為推導很簡單，就不寫了