3D遊戲基礎 空間幾何（一） 向量與頂點

初學3D時，一個概念讓我困擾許久：什麼是頂點，什麼是向量？？

在程式中，頂點和向量都用同一個類型來表示，甚至跟別人討論是，這二者也會混用，所以初學時就搞得雲裡霧裡的。

事實上，頂點和向量是不同的兩個概念。

頂點：表示空間中的位置資訊，即 x, y, z 座標，常用一個三元組 (x, y, z)表示，在變換是可能被擴充為齊次座標(x,y,z,w)， 這時w只是為了方便做矩陣運算而擴充的，通常w為1. 在變換後，可能w會變成非 1 值，這時，就需要做正常化動作，即 (x/w, y/w, z/w, w/w)，這個動作的幾何意義是將 4D 的齊次空間變換倒3D空間。這類似於，將3D空間的座標(x, y, z)中某一分量置1，就變換到2D的平面空間一樣。頂點可以做平移、旋轉、縮放變換。

向量：也是一個三元組 (x, y, z)，但是它表示的是一個方向。即從 原點 到 (x, y, z)的方向。它具有長度和方向屬性，沒有位置屬性，所以，它可以擁有很多 平行的等量。它的齊次座標(x,y,z,w)中，w取0，這時因為取0時，可以對這個座標做旋轉和縮放變換，不能做平移變換。因為向量本身沒有位置屬性，所以，對它做平移變換是無意義的。

Tips: 一般變換矩陣是 旋轉變換矩陣（分為x, y, z軸3個不同矩陣）、縮放矩陣、平移矩陣 的複合矩陣。要複合出變換矩陣，就是按希望的變換順序將 各個矩陣乘起來。而這個複合矩陣是一個 4 x 4矩陣，要使這個矩陣在對頂點和向量變換時有效，就必須將他們擴充到齊次空間。 

by: loo.tam@gmail.com