從零實現3D映像引擎：(8)參數化直線與3D平面函數庫

1. 數學分析

1) 參數化直線

還記得我們在學習向量時介紹的位移向量嗎？參數化直線的原理和他相同。其實所謂參數化直線，就是通過一個參數t來表示直線上的一個線段，當t為0時，則取線段的一端的端點，當t取1時，則取到另一端的端點。

核心原理就是向量加法的幾何意義，Vd是加數，通過t(從0到1)去乘以這個Vd，則可以描述向量p，而p在某個t時的座標值，就是從點P1到點P2的線段在t時的座標值。注意這裡我們使用的是圖中的p = p1 + t * vd，這樣t的取值是0到1，如果是p = p1 + t * v'，那t的取值就是0到|Vd|，還需要去先算|Vd|，沒有必要這麼做，而且0和1是特殊的數字，運算方便。

所以參數化方程為：P(x,y,z) = p0 + v*t

 

我們為什麼要用參數化的形式表示線段呢，因為在求兩個線段的交點時，只要求兩個參數方程組成的方程組，並求出t1和t2，只要他們都在0到1之間，那麼就可以知道他們是有交點的。比如：

線段1：

x = 1 + 2*t1;

y = 3 + 4*t1;

線段2：

x = 5 + 6*t2;

y = 7 + 8*t2;

四個方程，四個未知數，可求得t1,t2，如果他們都在0和1之間，那他們相交。

具體怎麼求？忘記上一章所講的求逆矩陣的嗎？要先算出行列式，然後。。。

 

注意，這裡我們有很多的情況還沒有考慮，比如：

1. 兩條直線平行，沒有交點

2. 兩條線段在同一直線上，但互不重疊

3. 兩條線段在同一直線上，部分重疊

4. 兩條線段在同一直線上，只有一點重疊

在我的實現函數中，我把這4種特殊情況都看做是不相交或者說是無意義，當他們平行或共線時都會返回回傳碼0。因為這時計算出來的t1和t2以及交點都是沒有任何意義的。

 

2) 3D平面

我們如何定義一個3D平面呢，看：

如果你認真看圖了，那麼無需我多說了，只要有一個點P0，和平面的法線向量n，就可以確定一個平面了。

定義：對於空間中的任意一點P，如果線段P->P0與法線向量n垂直，則點P在平面上。

 

還記得向量點積嗎？其最最重要的性質就是其幾何意義：可以確定兩個向量之間的夾角。當兩個向量的點積為0時，這兩個向量互相垂直。

所以：n.(P->P0) = 0

展開：<a, b, c> . <x-x0, y-y0, z-z0> = 0

最終，可以拿到平面的點-法線表示的形式：a*(x-x0) + b*(y-y0) + c(z-z0) = 0

 

我們可以另d = (-a*x0 - b*y0 - c*z0)

那麼上面的形式可以化為：

a*x + b*y + c*z + d = 0

這個就是3D平面的通用形式，以通用形式計算兩個平面之間的交線非常方便。

 

再擴充一下思維，就可以知道，對於任意一點<x,y,z>，a*(x-x0) + b*(y-y0) + c(z-z0)的值與0的關係，可以判斷出，這個點在平面的哪一邊。而這個性質則非常非常的重要，我打算先舉個執行個體再給出答案。

還是參照，這是個特殊的平面，是X-Z平面，所以法線向量n為<0,1,0>，平面上的一點，我們選原點<0, 0, 0>，那麼現在我們來取任意一點，比如(5, 5, 5)，那麼把這些資料代入a*(x-x0) + b*(y-y0) + c(z-z0)，得：

1*(5-0) = 5 > 0，所以點(5, 5, 5)在平面的正方向。

再取點(5, -5, 5)，則1*(-5-0) = -5 < 0 ，所以點(5, -5, 5)在該平面的負方向。

 

因為這個概念經常要用到，所以在舉了一點的例子之後我想再通過理論證明一下，請看：

這幅圖是的平面版，其實任意一個3D點與平面的關係都可以找到這樣一個角度來看。這裡的X軸就是X-Z平面的水平視角中的線，Y軸的正半軸就是這個平面的法線向量，這個圖左上提示了大家，u.v = |u| * |v| * Cos(theta)。左下角則根據向量範數的求法，給出了u.v是否大於0，取決於Cos(theta)的結果。圖上4種顏色的點，標出了任意一點可能在平面附近的位置。還記得餘弦函數線嗎？不多說了。到此我們已經證明了在任意3D卦限的某點，與某3D平面，計算u.v > 0 則在平面正方向，u.v < 0 則在負方向。

 

3) 參數化直線與3D平面的交點

其實就是解方程組，把直線方程和3D平面方程放在一起進行簡化。

參數化直線：

x = x0 + vx * t

y = y0 + vy * t

z = z0 + vz * t

其中x0, y0, z0為參數化直線上一直的一點

 

3D平面：

a*x + b*y + c*z + d = 0

a = nx

b = ny

c = nz

d = -nx*x0' -ny*y0' - nz*z0'

其中x0', y0', z0'是3D平面上已知的一點，所以加了'來區分直線上已知的一點

 

將這幾個方程代入做整理變換可以得到t的表示形式：

t = -(a*x0 + b*y0 + c*z0 + d) / (a*vx + b*vy + c*vz)

通過這個t就可以知道線段與平面是否存在交點了，不用我再說了吧，看t是不是在0和1之間即可。

 

這幾個方程也可以表示出x, y, z，即交點的座標：

x = x0 + vx*t

y = y0 + vy*t

z = z0 + vz*t

哈哈，其實不就是把t代回原線段的形式了麼。。。

 

 

2. 代碼實現

1) 結構定義

首先我們定義表示參數化直線和3D平面的結構：

typedef struct PARAMLINE2D_TYPE // 參數化2D直線<br />{<br />POINT2D p0;<br />POINT2D p1;<br />VECTOR2D v;<br />} PARAMLINE2D, *PARAMLINE2D_PTR;</p><p>typedef struct PARAMLINE3D_TYPE // 參數化3D直線<br />{<br />POINT3D p0;<br />POINT3D p1;<br />VECTOR3D v;<br />} PARAMLINE3D, *PARAMLINE3D_PTR;</p><p>typedef struct PLANE3D_TYPE // 3D平面<br />{<br />POINT3D p0;<br />VECTOR3D n;<br />} PLANE3D, *PLANE3D_PTR;

 

2) 常用函數實現

 void _CPPYIN_Math::ParamLineCreate(POINT2D_PTR p0, POINT2D_PTR p1, PARAMLINE2D_PTR p)<br />{<br />p->p0.x = p0->x;<br />p->p0.y = p0->y;<br />p->p1.x = p1->x;<br />p->p1.y = p1->y;<br />p->v.x = p1->x - p0->x;<br />p->v.y = p1->y - p0->y;<br />}</p><p>void _CPPYIN_Math::ParamLineCreate(POINT3D_PTR p0, POINT3D_PTR p1, PARAMLINE3D_PTR p)<br />{<br />p->p0.x = p0->x;<br />p->p0.y = p0->y;<br />p->p0.z = p0->z;<br />p->p1.x = p1->x;<br />p->p1.y = p1->y;<br />p->p1.z = p1->z;<br />p->v.x = p1->x - p0->x;<br />p->v.y = p1->y - p0->y;<br />p->v.z = p1->z - p0->z;<br />}</p><p>void _CPPYIN_Math::ParamLineGetPoint(PARAMLINE2D_PTR p, double t, POINT2D_PTR pt)<br />{<br />pt->x = p->p0.x + p->v.x * t;<br />pt->y = p->p0.y + p->v.y * t;<br />}</p><p>void _CPPYIN_Math::ParamLineGetPoint(PARAMLINE3D_PTR p, double t, POINT3D_PTR pt)<br />{<br />pt->x = p->p0.x + p->v.x * t;<br />pt->y = p->p0.y + p->v.y * t;<br />pt->z = p->p0.z + p->v.z * t;<br />}</p><p>int _CPPYIN_Math::ParamLineIntersect(PARAMLINE2D_PTR p1, PARAMLINE2D_PTR p2, double *t1, double *t2) // 0 平行或共線 1 線段相交 2 線段不相交<br />{<br />double det_p1p2 = p1->v.x * p2->v.y - p1->v.y * p2->v.x;<br />if (abs(det_p1p2) <= EPSILON)<br />return 0;</p><p>*t1 = (p2->v.x*(p1->p0.y - p2->p0.y) - p2->v.y*(p1->p0.x - p2->p0.x)) /det_p1p2;<br />*t2 = (p1->v.x*(p1->p0.y - p2->p0.y) - p1->v.y*(p1->p0.x - p2->p0.x)) /det_p1p2;</p><p>if ((*t1>=0) && (*t1<=1) && (*t2>=0) && (*t2<=1))<br />return 1;<br />else<br />return 2;<br />}</p><p>int _CPPYIN_Math::ParamLineIntersect(PARAMLINE2D_PTR p1, PARAMLINE2D_PTR p2, POINT2D_PTR pt) // 0 平行或共線 1 線段相交 2 線段不相交<br />{<br />double t1, t2, det_p1p2 = (p1->v.x*p2->v.y - p1->v.y*p2->v.x);</p><p>if (abs(det_p1p2) <= EPSILON)<br />return 0;</p><p>t1 = (p2->v.x*(p1->p0.y - p2->p0.y) - p2->v.y*(p1->p0.x - p2->p0.x))/det_p1p2;<br />t2 = (p1->v.x*(p1->p0.y - p2->p0.y) - p1->v.y*(p1->p0.x - p2->p0.x))/det_p1p2;</p><p>pt->x = p1->p0.x + p1->v.x*t1;<br />pt->y = p1->p0.y + p1->v.y*t1;</p><p>if ((t1>=0) && (t1<=1) && (t2>=0) && (t2<=1))<br />return 1;<br />else<br />return 2;<br />}</p><p>void _CPPYIN_Math::PlaneCreate(PLANE3D_PTR plane, POINT3D_PTR p0, VECTOR3D_PTR normal, int normalize)<br />{<br />plane->p0.x = p0->x;<br />plane->p0.y = p0->y;<br />plane->p0.z = p0->z;</p><p>if (normalize)<br />{<br />VECTOR3D n;<br />VectorNormalize(normal, &n);<br />plane->n.x = n.x;<br />plane->n.y = n.y;<br />plane->n.z = n.z;<br />}<br />else<br />{<br />plane->n.x = normal->x;<br />plane->n.y = normal->y;<br />plane->n.z = normal->z;<br />}<br />}</p><p>double _CPPYIN_Math::PlaneWithPoint(POINT3D_PTR pt, PLANE3D_PTR plane)<br />{<br />double hs = plane->n.x*(pt->x - plane->p0.x) +<br />plane->n.y*(pt->y - plane->p0.y) +<br />plane->n.z*(pt->z - plane->p0.z);</p><p>return hs;<br />}</p><p>int _CPPYIN_Math::PlaneParamLineInterset(PARAMLINE3D_PTR pline, PLANE3D_PTR plane, double *t, POINT3D_PTR pt) // 0 不相交 1 相交 2 相交在延長線上 3 線段在平面上<br />{<br />// 求直線與平面法線向量的點積<br />double plane_dot_line = VectorDot(&pline->v, &plane->n);</p><p>if (abs(plane_dot_line) <= EPSILON) // 點積為0, 直線與面法線垂直，要麼平行於平面，要不就在平面上，下面拿直線上一點測試<br />{<br />if (abs(PlaneWithPoint(&pline->p0, plane)) <= EPSILON)<br />return 3;<br />else<br />return 0;<br />}</p><p>// 求t<br />*t = -(plane->n.x*pline->p0.x +<br /> plane->n.y*pline->p0.y +<br /> plane->n.z*pline->p0.z -<br /> plane->n.x*plane->p0.x -<br /> plane->n.y*plane->p0.y -<br /> plane->n.z*plane->p0.z) / (plane_dot_line);</p><p>pt->x = pline->p0.x + pline->v.x*(*t);<br />pt->y = pline->p0.y + pline->v.y*(*t);<br />pt->z = pline->p0.z + pline->v.z*(*t);</p><p>if (*t>=0.0 && *t<=1.0)<br /> return 1;<br />else<br /> return 2;<br />}

 

 

 

3. 代碼下載

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