[51nod1670] 打怪獸

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lyk在玩一個叫做“打怪獸”的遊戲。
遊戲的規則是這樣的。
lyk一開始會有一個初始的能量值。每次遇到一個怪獸，若lyk的能量值>=怪獸的能量值，那麼怪獸將會被打敗，lyk的能量值增加1，否則lyk死亡，遊戲結束。
若怪獸全部打完，遊戲也將會結束。
共有n個怪獸，由於lyk比較弱，它一開始只有0點能量值。
n個怪獸排列隨機，也就是說共有n!種可能，lyk想知道結束時它能量值的期望。
由於小數點比較麻煩，所以你只需要輸出期望*n!關於1000000007模數後的值就可以了！

 例如有兩個怪獸，能量值分別為{0,1}，那麼答案為2，因為遊戲結束時有兩種可能，lyk的能量值分別為0和2。期望為1,1*2!=2，所以答案為2。Input

第一行一個數n(1<=n<=100000)。接下來一行n個數ai表示怪獸的能量(0<=ai<n)。

Output

一行表示答案

Input樣本

20 1

Output樣本

2

可以發現一個性質，就是如果我們在第$i$局可以打第$j$個怪，那麼在第$i+1$局活著的話可以打第$j$個怪。
那麼我們設$f[i]$表示到第$i$輪還存活著的方案數。
顯然可以遞推$\large f[i] = f[i-1] \times \frac{sum[i-1]-i+1}{n-i+1}$.
$sum[i]$表示能量值小於等於$i$的怪的數量。
然後答案就是$\large \sum \left(f[i-1]-f[i] \right ) \times \left(i-1 \right)$。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define reg registerinline char gc() {    static const int BS = 1 << 22;    static unsigned char buf[BS], *st, *ed;    if (st == ed) ed = buf + fread(st = buf, 1, BS, stdin);    return st == ed ? EOF : *st++;}#define gc getcharinline int read() {    int res = 0;char ch=gc();bool fu=0;    while(!isdigit(ch))fu|=(ch==‘-‘),ch=gc();    while(isdigit(ch))res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=gc();    return fu?-res:res;}#define mod 1000000007#define ll long longint n;int sum[100005];ll f[100005];inline ll ksm(ll x, ll y){    ll res = 1;    while(y)    {        if (y & 1) res = res * x % mod;        x = x * x % mod;        y >>= 1;    }    return res;}int ans;int main(){    n = read();    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) sum[read()]++;    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) sum[i] = sum[i - 1] + sum[i];    f[0] = 1;    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) f[0] = f[0] * i % mod;    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++)        f[i] = f[i - 1] * (sum[i - 1] - i + 1) % mod * ksm(n - i + 1, mod - 2) % mod;    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++)        ans = (ans + (f[i - 1] - f[i]) * (i - 1)) % mod;    cout << (ans + f[n] * n) % mod << endl;    return 0;}

 

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