A*演算法及其應用__演算法

一．引言 圖論是電腦科學中的一個重要研究工具，它產生於歐拉（Euler）對圖的連通性的研究，但直到本世紀電腦誕生以後才得最迅猛的發展。 圖論中的最短路徑問題在電腦中有著廣泛的應用，例如網路通訊中最短路由的選擇，人工智慧中搜尋演算法的研究等。 本文對幾種常見最短路徑的演算法進行介紹，尤其是在1968年發展起來的A*演算法。 二． 常用演算法簡介 為敘述的方便，本文中假定所有圖均以鄰接矩陣表示，並將圖論中的常用符號列於下： G---------------------無向圖或有向圖 A=[aij]----------------圖G的鄰接矩陣表示 V(G)------------------圖G的頂點數 ε(G)-----------------圖G的邊數。 1. Floyd演算法 這是幾種最短路徑演算法中最簡單的一種，本文不詳細介紹，僅給出演算法描述。 演算法： For k:=1 to n do For i:=1 to n do For j:=1 to n do If A[i,j]+A[k,j] =0將意味著估價函數是有效，反之亦然)，常量C為從一個結點到相鄰結點的權的最大改變。同時我們用一些“容器”來儲存估價函數值的子集（這正如o(n)的排序演算法的思想）,例如，當有10個“容器”時，堆將平均只包含1/10的估價值。因而這將比用堆更為有效。 4. 估價函數（Heuristic Function） 估價函數的正確選取將直接關係到A*演算法的成功與否，而函數的確定卻與實際情形有著密切的關係。在本文中，僅對網格狀地圖的估價函數作部分討論，而在其它情形中，需要作不同的分析，但至少估價函數應為連續函數。 a. Manhattan Distance 這是一種標準的估價函數， h(A) = 10 * (abs(A.x-goal.x) + abs(A.y-goal.y)) b. Diagonal Distance 如果在地圖上允許作斜線方向的運動，則Mahattan Distance修正為Diagonal Distance h(A) = max(abs(A.x-goal.x), abs(A.y-goal.y)) 5. 估價函數的判優 一般情形下，我們只需對估價函數的值進行比較而取其大者即可，但在幾個結點的估價函數值相同的情形下，我們需要採取一定的策略來決定這幾者誰更優，從而避免對多個點的搜尋。從而如下代碼可實現之： double dx1 = currentX - goalX; double dy1 = currentY - goalY; double dx2 = startX - goalX; double dy2 = startY - goalY; cross = dx1*dy2 - dx2*dy1; if( cross<0 ) cross = -cross; ... add cross*0.001 to the heuristic ... 這段代碼計算始點、當前點和終點的向量積，從而可以判斷這三點是否共線（或近似共線），這樣不同點間即使有微小的差別也會被放大，從而更利於判斷。 6. 改進的A*演算法 a. Beam Search 在A*演算法中需要保留所有的結點，這將使得時間和空間的消耗都很大，而Beam Search方法對結點數作出限期，當結點數過多時，它會將一些不(大)可能為最優的點排除，從而降低時間和空間的要求，但需要說明的是，由於在排除結點後需對結點排序，當排序的工作量大於排除點後所節省的工作量，則該方法無意義。 b. Iterative deepening 這是一種在人工智慧中常使用的方法，它首先產生一近似值，然後對它進行修正而逐步接近最優解。這其實在一種博奕演算法的變形。 c. Dynamic weighting 這種演算法是基於這樣的考慮，即在搜尋初期以速度優先，在搜尋後期以準確度優先(這可通過對搜尋初、後期賦予不同的權值來實現)。即： f(p) = g(p) + w(p) * h(p) d. Bidirectional search 這種演算法從起點和終點同時應用A*演算法，直到有結點相遇。其缺點在於複雜度太大，一般僅用於複雜的圖形。 e. Hierarchical A* 這種演算法思想是將搜尋過程化，對每個簡單過程求解從而得全域較優解。正如當我們到另一城市時，可分解為從家裡“搜尋”一條路徑至車站，再從車站“搜尋”一條路徑到另一城市，當我們從家裡出發時，需要考慮的是怎樣儘快地到達車站，而不是怎樣儘快地到另一城市。 f. Dynamic A*(D*) 這種演算法主要用於人工智慧和機器人技術。由於A*演算法一開始要求獲得全部資訊，而這在實際中有時是不可能的，而D*演算法就是在假定資訊不完整的前提下應用A*演算法，但它會隨著得到資訊的增多而不斷改進結果，這就決定了它對空間的要求相當高，因為它需要保留以前的所有獲得資訊及運算情形。 四． 結論 A*演算法作為解決最優路徑的一種高效演算法，自從1968年誕生以來，得到了廣泛的應用，而其的多種改進演算法也在許多領域發揮著作用。可以預見，在更優的演算法發現以前，A*演算法將會得到更廣泛的應用，並會由於圖論、人工智慧、機器人技術、自動控制等多學科的融合而得到更大的發展。 參考文獻： [ 1 ] 盧開澄、盧華明，圖論及其應用（第二版），北京，清華大學出版社，1982 [ 2 ] Computer Networks(Third Edition)，Andrew S. Tanenbaum，Prentice Hall International, Inc.,1998 [ 3 ] Russell & Norvig，AI: A Modern Approach [ 4 ] Ginsberg，Essentials of Artificial Intelligence