A*演算法研究

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許多工業與科學計算問題都可以轉化為在圖中尋路問題。啟發學習法的尋路方法將問題表示為一個圖，然後利用問題本身的資訊，來加速解的搜尋過程。一個典型的例子是有一些通路串連若干城市，找出從指定起點城市到指定終點城市的路徑。但是有些問題不存在如此明顯的事先定義好的圖，它們的圖是隱式圖，也就是說，問題給定了搜尋起點與一系列操作，對起點進行這些操作得到了它的後繼結點，以及該操作的代價，對這些後繼結點不斷地重複操作，就得到了一個帶權的有向圖，隱式圖就定義好了。

對於解決最小路徑問題，A*演算法效能卓越。首先，對於任何有解路徑，A*總能找到一條最佳路徑，也就是說A*演算法是可採納的。其次，在保證能找到最佳路徑的前提下，A*演算法擴充了最少個數的結點，也就是說A*演算法是最優的。

使用啟發資訊的一種重要方法就是估價函數。A*使用來表示結點的估價函數，它表示從起點到目標，經由結點最小費用路徑上的費用。它由和兩部分組成，即。其中表示從初始結點到的最佳解路徑的費用，表示從到目標結點的最佳解路徑的費用。但想要知道它們的精確值很難，我們可以使用來估計，使用來估計，來估計。表示目前為止，從起始點到的最小費用，因為日後可能找到更小的費用，所以有。而在A*演算法中，對的估計通常是樂觀的，比實際所需的費用要小，即有。它們之間的關係可以用形象地表示：

註：黃色是估計值，黑色是最佳解路徑費用

A*演算法維護兩個集合：OPEN 集和 CLOSED 集。OPEN 集包含待檢測節點。初始狀態的OPEN集僅包含一個元素：開始位置。CLOSED集包含已檢測節點。初始狀態的CLOSED集為空白。從圖形上來看，OPEN集是已訪問地區的邊界，CLOSED集是已訪問地區的內部。每個節點還包含一個指向父節點的指標，以確定追蹤關係。

演算法有一個主迴圈，重複地從OPEN集中取最優節點n（即f值最小的節點）來檢測。如果n是目標節點，那麼演算法結束；否則，將節點n從OPEN集刪除，並添加到CLOSED集中，然後查看n的所有鄰節點n‘。cost= g(n) + movementcost(n, n‘)。n‘有如下三種情況：

1. 鄰結點在CLOSED集中，說明它已被檢測過，如果cost<g(n‘)，那麼說明找到了一條通過n到達n‘更近的路徑，更新g(n‘)為cost, n‘的父結點為n，把鄰結點從CLOSED集中刪去，並把它重新放入OPEN集中（因為同樣都是到達n‘，h(n‘)是一樣的，g(n‘)小必然能帶來更小的f(n‘)），如果cost>=g(n‘)，則跳過該鄰結點。
2. 鄰結點在OPEN集中，說明它之前被拓展過，如果cost<g(n‘)，那麼說明找到了一條通過n到達n‘更近的路徑，更新g(n‘)為cost, n‘的父結點為n，鄰結點仍留在OPEN集中。如果cost>=g(n‘)，則跳過該鄰結點。
3. 鄰結點不在CLOSED集或者OPEN集中，則加入OPEN集中。

演算法用虛擬碼表示如下：

OPEN = priority queue containing START

 

CLOSED = empty set

 

while lowest rank in OPEN is not the GOAL:

 

current = remove lowest rank item from OPEN

 

add current to CLOSED

 

for neighbors of current:

 

cost = g(current) + movementcost(current, neighbor)

 

if neighbor in OPEN and cost less than g(neighbor):

 

remove neighbor from OPEN, because new path is better

 

if neighbor in CLOSED and cost less than g(neighbor): **

 

remove neighbor from CLOSED

 

if neighbor not in OPEN and neighbor not in CLOSED:

 

set g(neighbor) to cost

 

add neighbor to OPEN

 

set priority queue rank to g(neighbor) + h(neighbor)

 

set neighbor‘s parent to current

 

reconstruct reverse path from goal to start

 

by following parent pointers

在A*演算法中，h(n)越大啟發資訊越多，但是有時計算啟發資訊本身的代價很高，例如計算的開銷較大，可以使用來代替，（總是成立）雖然會擴充多一些的結點，但是依舊是高效的。h(n)=0時，A*退化成了DIjkstra演算法。

當時，演算法不再可採納，不一定能找到最優解，但是能以較快的速度找到滿意解，這在大多數時候是高效的。例如使用來代替。當h(n)很大時，A*變成了貪心演算法。

所以要仔細選擇h(n)，在演算法是否可採納、搜尋效率、計算開銷之間權衡。

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