關於卷積的一點理解

讀書的時候高數學過卷積，後來專業課的時候講到影像處理也提到卷積。

那到底什麼是卷積呢？雖然知道卷積的公式 Sm n （f(a)f(x-a)）da但是究竟卷積的物理意義到現在也沒太理解明白。

今天網上看了一個文章，用淺顯易懂的話，大概講了一下卷積的意義，理解深刻了些。

先把原文貼過來：

我們都知道這個公式，但是它有什麼物理意義呢，平時我們用卷積做過很多事情，訊號處理 時，輸出函數是輸入函數和系統函數的卷積，在影像處理時，兩組幅解析度不同的圖卷積之後得到的互相平滑的映像可以方便處理。卷積甚至可以用在考試作弊中， 為了讓照片同時像兩個人，只要把兩人的映像卷積處理即可，這就是一種平滑的過程，可是我們怎麼才能真正把公式和實際建立起一種聯絡呢，也就是說，我們能不
能從生活中找到一種很方便且具體的例子來表達公式的物理意義呢？我想到一種，下面進入正題：
比如說你的老闆命令你幹活，你卻到樓下打撞球去了，後 來被老闆發現，他非常氣憤，扇了你一巴掌（注意，這就是輸入訊號，脈衝），於是你的臉上會漸漸地（賤賤地）鼓起來一個包，你的臉就是一個系統，而鼓起來的 包就是你的臉對巴掌的響應，好，這樣就和訊號系統建立起來意義對應的聯絡。下面還需要一些假設來保證論證的嚴謹：假定你的臉是線性時不變系統，也就是說， 無論什麼時候老闆打你一巴掌，打在你臉的同一位置（這似乎要求你的臉足夠光滑，如果你說你長了很多青春痘，甚至整個臉皮處處連續處處不可導，那難度太大 了，我就無話可說了哈哈），你的臉上總是會在相同的時間間隔內鼓起來一個相同高度的包來，並且假定以鼓起來的包的大小作為系統輸出。好了，那麼，下面可以
進入核心內容——卷積了！
如果你每天都到地下去打撞球，那麼老闆每天都要扇你一巴掌，不過當老闆打你一巴掌後，你5分鐘就消腫了，所以時間長了， 你甚至就適應這種生活了……如果有一天，老闆忍無可忍，以0.5秒的間隔開始不間斷的扇你的過程，這樣問題就來了，第一次扇你鼓起來的包還沒消腫，第二個 巴掌就來了，你臉上的包就可能鼓起來兩倍高，老闆不斷扇你，脈衝不斷作用在你臉上，效果不斷疊加了，這樣這些效果就可以求和了，結果就是你臉上的包的高度 歲時間變化的一個函數了（注意理解）；如果老闆再狠一點，頻率越來越高，以至於你都辨別不清時間間隔了，那麼，求和就變成積分了。可以這樣理解，在這個過
程中的某一固定的時刻，你的臉上的包的鼓起程度和什麼有關呢？和之前每次打你都有關！但是各次的貢獻是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻越小，所以這就是說， 某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減係數之後的疊加而形成某一點的輸出，然後再把不同時刻的輸出點放在一起，形成一個函數，這就是卷積，卷積之 後的函數就是你臉上的包的大小隨時間變化的函數。本來你的包幾分鐘就可以消腫，可是如果連續打，幾個小時也消不了腫了，這難道不是一種平滑過程嗎？反映到 劍橋大學的公式上，f(a)就是第a個巴掌，g(x-a)就是第a個巴掌在x時刻的作用程度，乘起來再疊加就ok了，大家說是不是這個道理呢？我想這個例
子已經非常形象了，你對卷積有了更加具體深刻的瞭解了嗎？
最近要忙開題了，不過周末了還是放鬆一下吧。其實我真的希望我的朋友們看到這篇文章能給 我留言，發表你們的想法，有不妥之處歡迎提出來。 在本文的下半部分,我 會再講一個抽象的例子,以便能讓大家從卷積中能更好地瞭解數學與生活的聯絡。

 

從上面的描述可以較清楚的瞭解這個式子的具體含義了。

但是問題又出來了，“g(x-a)就是第a個巴掌在x時刻的作用程度”，那麼這個g(x-a)是怎麼來的呢？

f（a）表示a時刻的輸入，那麼g（a）這個函數表示什麼呢？同一a時刻f和g這兩個函數的自變數的意義一樣嗎？

 

後來想了想，可能這樣理解吧

f（a）表示a時刻輸入g（x-a）表示a時刻對x的影響，而恰好x-a就是x到a的差。

我姑且將g（x）理解成這樣一個函數，他表示這個系統時刻a對時刻x的影響係數，這種影響取決於x與a的差，而與x或者a的具體值都無關。因此對於任意一個時刻a，a時刻在x時刻的殘留，就是a時刻的輸入乘以這個輸入對x時刻的影響系統，就是f（a）×g（x-a）。把所有的a積出來，就是x時刻的輸入了。

 

來自：http://blog.csdn.net/elfylin/article/details/5923056