隊內賽我出的一道題附標程、資料與解題報告

ZZY的寵物

Time Limit: 1000MS

Description

    ZZY領養了一對剛剛出生的不知名小寵物..巨萌巨可愛!!...小寵物的生命為5個單位時間並且不會在中間出意外翹辮子(如:從0出生能活到5但活不到6)..小寵物經過2個單位時間成熟..剛剛成熟的一對小寵物能立即生育6隻新的小寵物(如:從0出生的一對在2時成熟並進行第一次生育）...小寵物是很忠誠的..不會在中途換伴侶..每對小寵物生育一次這一對的生育能力就會降低2個..也就是說一對小寵物在第二次生育時就只能生4個了..小寵物成熟後每個單位時間都會儘力的生育(例:從0出生的一對..2時間生6個..3時間生4個..4時間生2個...5時間生不出..6時間這一對已經掛了..)..生育出來的新小寵物會繼續這個過程..

    ZZY想知道從單位時間0開始..經過M個單位時間(時間為M時)將有多少只活著的小寵物(0時刻有2隻小寵物)

    因為ZZY隱隱地覺得什麼地方怪怪的...所以請將這個數目mod10000

Input

    多組資料讀到EOF

    每組資料一行: 

    M ( 0<=M<=2000000000 )

    最多500組資料

Output

    每組輸出一行為 Case 組號: 答案，即M時刻活著的小寵物個數%10000

SampleInput

0

1

2

3

4

8

SampleOutput

Case 1: 2

Case 2: 2

Case 3: 8

Case 4: 12

Case 5: 32

Case 6: 528

Source

ZZY原創的說..

解題報告:

    這道題的靈感來自Fibonacci的那個兔子故事...思想是矩陣乘法解遞推數列(應該找不到什麼通項公式吧？反正我沒試過...)

    根據題意建立這樣一種數列,數列從0號開始..代表第0個單位時間出生的小寵物...1代表在第1個單位時間出生的小寵物..以此類推..將這個數列某項稱作Z[x]

    顯然..當x>=5時..在第x天活著的小寵物數量sum[x] = z[x-5] + z[x-4] + z[x-3] +z[x-2] +z[x-1] + z[x]

    再看根據題意 z[x] = z[x-2]/2*6 + z[x-3]/2*4 + z[x-4]/2*2 = z[x-2]*3 + z[x-3]*2 + z[x-4]

    顯然這個式子是一個遞推的公式...那麼就可以用矩陣乘法來求解這個遞推公式的第x項是多少...觀察數列建立關於這個遞推數列的"特徵“矩陣..

    M =     0 1 0 0 0 0

               0 0 1 0 0 0

               0 0 0 1 0 0

               0 0 0 0 1 0

               0 0 0 0 0 1

               0 0 1 2 3 0

    而初始值為0單位時間的出生情況...可以自己遞推出來...為 A =  {  0 , 0 , 0 ,0 ,0 ,2 }

    要求第x天出生了多少就用z[x] = A*(M^x)...矩陣乘法用遞迴2分來求解...

    要求sum(x)...就分別求出 z[x-5] ,z[x-4] ,z[x-3] ,z[x-2] ,z[x-1] ,z[x]再將這幾個值加起來就行了....

資料：

  http://pan.baidu.com/share/link?shareid=66129&uk=1124339433/

標程:

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>using namespace std;struct Matrix{    int s[6][6];}h,p,a;int m,T,ans,k; Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){    int i,j,k;    Matrix h;    memset(h.s,0,sizeof(h.s));    for (k=0;k<6;k++)      for (i=0;i<6;i++)        for (j=0;j<6;j++)           h.s[i][j]=(h.s[i][j]+a.s[i][k]*b.s[k][j])%10000;    return h;}Matrix Mdata(int n){    Matrix k;    if (n==1) return h;    k=Mdata(n/2);    k=Mul(k,k);    if (n%2) k=Mul(k,h);    return k;}int main(){     T=0;    memset(a.s,0,sizeof(a.s));    a.s[5][0]=2;    memset(h.s,0,sizeof(h.s));    for (int i=0;i<6;i++) h.s[i][i+1]=1;    h.s[5][2]=1; h.s[5][3]=2; h.s[5][4]=3;    while (~scanf("%d",&m))    {         ans=0;         k=6;         while (k--)         {              if (m) p=Mul(Mdata(m),a); else p=a;              ans+=p.s[5][0];              if (!m) break;              m--;         }         printf("Case %d: %d\n",++T,ans%10000);    }    return 0;}