筆試面試題之Fibonacci數列

跳台階問題。

一個台階總共有n 級，如果一次可以跳1 級，也可以跳2 級。求總共有多少總跳法，並分析演算法的時間複雜度。

我們把n級台階時的跳法看成是n的函數，記為f(n)。當n>2時，第一次跳的時候就有兩種不同的選擇：一是第一次只跳1級，此時跳法數目等於後面剩下的n-1級台階的跳法數目，即為f(n-1)；另外一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等於後面剩下的n-2級台階的跳法數目，即為f(n-2)。因此n級台階時的不同跳法的總數f(n)=f(n-1)+(f-2)。

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)  {      int result[2] = {0, 1};      if(n < 2)          return result[n];            return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);  }  

/*下面介紹一種時間複雜度是O(logn)的方法:對於斐波那契數列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定義:F( n ) = F( n-1 ) + F( n-2 )F( 1 ) = 1F( 2 ) = 1矩陣形式：[ F( n+1 ) ,  F( n ) ] = [ F( n ) , F( n-1 ) ] * Q  其中 [ F( n+1 ) ,  F( n ) ]為行向量，Q = { [ 1, 1 ]; [ 1, 0 ] }為矩陣，則 [ F( n+1 ) , F( n ) ]=[ 1 , 0 ] * Qn , */ struct Matrix    {                 long long m_00, m_01, m_10, m_11;   　　 Matrix ( long long m00 = 0,  long long m01 = 0,  long long m10 = 0,   long long m11 = 0 )           :m_00( m00 ), m_01( m01 ), m_10( m10 ), m_11( m11 )            {           }    }; Matrix MatrixMultiply (  const Matrix & m1, const Matrix & m2    ）    {  　　long long m00 = m1.m_00 * m2.m_00 + m1.m_01 * m2.m_10;　　long long m01 = m1.m_00 * m2.m_01 + m1.m_01 * m2.m_11; 　　long long m10 = m1.m_10 * m2.m_00 + m1.m_11 * m2.m_10    　　long long m11 = m1.m_10 * m2.m_01 + m1.m_11 * m2.m_11;       return Matrix ( m00,  m01,  m10, m11 );    }Matrix MatrixPower( unsigned int n )    {           assert(n > 0);           Matrix m;           if( n == 1)           {                 m = Matrix(1, 1, 1, 0);           }          else if(n % 2 == 0)           {                 m = MatrixPower( n / 2 );                 m = MatrixMultiply( matrix, matrix );           }          else if( n % 2 == 1 )           {                 m = MatrixPower( (n - 1) / 2 );                 m = MatrixMultiply( m, m );                 m = MatrixMultiply( m, Matrix( 1, 1, 1, 0 ) );           }           return m;    }  long long Fibonacci( unsigned int n ){      int result[2] = { 0, 1 };      if( n < 2 )            return result[ n ];      Matrix Q = MatrixPower( n - 1 );　　//注意：按定義式應該用[ 1, 0 ]*Q, 或者等價於{ [ 1 , 0 ]; [ 0, 0 ] }*Q, 但是因為顯然結果相同，所以略去這一步。      return Q.m_00;}